ANNEXE
I.
C ORRIGÉS
DES
PROBLÈMES
ETEXERCICES
L’examen de cette expression permet de répondre aux questions :
1. Le premier minimum nul de la modulation existe quand sin(7wa/v) = 0, c’est-à-dire lorsque
u = V/a.
2. « Deux raies » consécutives sont séparées de la distance a déterminée par deux maximums
relatifs et consécutifs de la fonction « raie », elle est déterminée par la différence de deux
valeurs consécutives qui annulent le dénominateur, on a donc :
a = v/b.
3. La finesse des raies, c’est-à-dire la largeur à mi-hauteur, est inversement proportionnelle à IV,
elle est donc de l’ordre de ca/N, et quand N est grand devant 1, c vaut &.
9.2. Calcul numérique des transformées de Fourier pour un nombre de données N = bS
On envisage le cas où le nombre de données est une puissance de trois : N = 3”. On écrit la
définition de la TF :
puis on regroupe les termes en trois sommes partielles :
Qk = f,,W; + f3Wik + &jWN” + . . (= A/J
+flw~+f4W~k+f7W~k+‘.’
(=BkW;)
+f2wN+fsw~k+f8w~k+...
(=ClcWN)
d’où on tire : @k = Ak + Bk IV; + C’~CIV$~. Ces expressions s’écrivent encore :
Qk = fow$j + f3W&, + fdv‘q, + . .
+ -t
fi WN-,, + f4W&9 + f7y+ + . . >
WN
+ { .f2w; + f& + fs WN” + . . . } WN”.
On voit que Ak, Bk et Ck sont les transformées de Fourier de trois fois moins de points que
n’en comporte l’échantillon initial. Cependant, les dernières relations ne peuvent être utilisées
que pour k = 0, 1,2,. . . , ïV/3 - 1, reste donc à régler les problèmes de périodicité :
CD k+N,3 = Ak + BkWFN13 + CkW,$k+N’“),
équation qui se transforme de la manière suivante :
un calcul analogue donne :
@k+ZN/3 =
Ak +
BkW;
((&)+<*ll*r(-;+j$).
La formule d’adressage des données s’écrit :
j = RN(~) = R~(lc - 3’) + &
avec 34 5 k < 3‘+‘et RN(o) = 0.
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