MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉ RIQUE
APPLIQUÉ
8. Intégration des équations aux dérivées partielles
8.1. L’équation de Laplace, les isothermes d’un réfrigérateur
Le travail ne présente pas de réelles difficultés, et l’on trouvera un programme qui traite ce
problème et qui s’appelle refrig. c.
8.2. Refroidissement d’une sphère homogène
Le problème admet la symétrie sphérique et nous employons donc l’équation de Laplace
en coordonnées sphériques dans laquelle nous ne conservons que les termes qui dépendent
uniquement de la coordonnée spatiale T. Une remarque importante s’impose : nous ne pouvons
pas calculer directement la valeur de la température au centre de la sphère car une discontinuité
artificielle est introduite par le formalisme. En effet, le champ de température est parfaitement
continu, mais le choix du système de coordonnées introduit une discontinuité au centre puisque
l’équation fait apparaître un terme en l/r. On pallie cet ennui en choisissant pour T(0, t) la
valeur obtenue à l’instant t - 6t au point adjacent (premier voisin), soit T(0, t) = T(0, t ~ dt),
6t étant le pas dans le temps.
9. Les transformées de Fourier
9.1. Étude d’un vélocimètre
Pour des particules se déplaçant selon l’axe du réseau à vitesse constante, le spectre en fréquence
de la lumière transmise, appelée I(z), est le produit des transformées de Fourier de la fonction
d’éclairement d’une part et de la fonction d’absorption d’autre part.
Il s’agit donc dans un premier temps de calculer la transformée de Fourier d’un réseau de N
trous alignés et équidistants. En choisissant l’origine au centre du réseau et en appelant F(k) la
transformée de Fourier d’un trou, on aura :
I(z) TF) Q(x) = F(x) C exp(27rjkXb) avec : F(X) =
sin(7rXa) ,
N
“x
expression dans laquelle a est le diamètre du trou. Tout le calcul fait :
sin(7rXa) sin(7rXbN)
Q(x)
= nk
. sin(7rXb)
’
on retrouve l’expression classique des réseaux, et grosso modo, dans l’espace de Fourier, le terme
[sin(-irXMV)]/[sin(7rXb)]
1
é evé au carré donne un « spectre de raies » et le terme [sin(7rXa)]/[.irX]
élevé au carré donne l’image de l’enveloppe de ces raies. Rappelons que X est un nombre d’ondes
(inverse d’une longueur).
En réalité, ce qui nous intéresse est le signal dépendant du temps t et de travailler dans
l’espace de Fourier correspondant qui est celui des fréquences V.
Dans notre problème, comme les longueurs sont parcourues à la vitesse constante V, il est
commode d’effectuer la transformation sur le plan dimensionne1 : [ Z] = w[t] et comme [X] =
WI = ll(4tl) = [ v w
11 d ans l’équation donnant (a(X) il suffit donc de remplacer X par V/%I, en
désignant par Q(V) la nouvelle fonction on obtient alors l’intensité de l’éclairement :
Q(u) = 10
[
sin(7rva/v) sin(7rvb/vïV)
2
7ru~u
. sin(7rvb/v)
.
1
530
DE
CALCUL
NUMÉ RIQUE
APPLIQUÉ
8. Intégration des équations aux dérivées partielles
8.1. L’équation de Laplace, les isothermes d’un réfrigérateur
Le travail ne présente pas de réelles difficultés, et l’on trouvera un programme qui traite ce
problème et qui s’appelle refrig. c.
8.2. Refroidissement d’une sphère homogène
Le problème admet la symétrie sphérique et nous employons donc l’équation de Laplace
en coordonnées sphériques dans laquelle nous ne conservons que les termes qui dépendent
uniquement de la coordonnée spatiale T. Une remarque importante s’impose : nous ne pouvons
pas calculer directement la valeur de la température au centre de la sphère car une discontinuité
artificielle est introduite par le formalisme. En effet, le champ de température est parfaitement
continu, mais le choix du système de coordonnées introduit une discontinuité au centre puisque
l’équation fait apparaître un terme en l/r. On pallie cet ennui en choisissant pour T(0, t) la
valeur obtenue à l’instant t - 6t au point adjacent (premier voisin), soit T(0, t) = T(0, t ~ dt),
6t étant le pas dans le temps.
9. Les transformées de Fourier
9.1. Étude d’un vélocimètre
Pour des particules se déplaçant selon l’axe du réseau à vitesse constante, le spectre en fréquence
de la lumière transmise, appelée I(z), est le produit des transformées de Fourier de la fonction
d’éclairement d’une part et de la fonction d’absorption d’autre part.
Il s’agit donc dans un premier temps de calculer la transformée de Fourier d’un réseau de N
trous alignés et équidistants. En choisissant l’origine au centre du réseau et en appelant F(k) la
transformée de Fourier d’un trou, on aura :
I(z) TF) Q(x) = F(x) C exp(27rjkXb) avec : F(X) =
sin(7rXa) ,
N
“x
expression dans laquelle a est le diamètre du trou. Tout le calcul fait :
sin(7rXa) sin(7rXbN)
Q(x)
= nk
. sin(7rXb)
’
on retrouve l’expression classique des réseaux, et grosso modo, dans l’espace de Fourier, le terme
[sin(-irXMV)]/[sin(7rXb)]
1
é evé au carré donne un « spectre de raies » et le terme [sin(7rXa)]/[.irX]
élevé au carré donne l’image de l’enveloppe de ces raies. Rappelons que X est un nombre d’ondes
(inverse d’une longueur).
En réalité, ce qui nous intéresse est le signal dépendant du temps t et de travailler dans
l’espace de Fourier correspondant qui est celui des fréquences V.
Dans notre problème, comme les longueurs sont parcourues à la vitesse constante V, il est
commode d’effectuer la transformation sur le plan dimensionne1 : [ Z] = w[t] et comme [X] =
WI = ll(4tl) = [ v w
11 d ans l’équation donnant (a(X) il suffit donc de remplacer X par V/%I, en
désignant par Q(V) la nouvelle fonction on obtient alors l’intensité de l’éclairement :
Q(u) = 10
[
sin(7rva/v) sin(7rvb/vïV)
2
7ru~u
. sin(7rvb/v)
.
1
530