ANNEXE I. C ORRIGÉS DES PROBLÈMES ET EXERCICES
3. Généralisation de /‘équation (1.6) - On reprend la relation (1.5) dans laquelle on effectue le
changement SI = S(T~) = s[y(Tl),Tl]. On fait dont d’abord s1 = su pour obtenir :y(Tl) que l’on
reporte dans l’expression de ~1. Alors, on peut itérer jusqu’à ce qu’on obtienne une prkision
souhaitée à l’avance 1OF” par exemple en erreur relative. On connaît donc Tj et y(Tl) à l’issue
de ce calcul. On va poursuivre de la mCmc façon avec l’expression (1.6) pour obtenir t2 et y(Tz).
Au départ, on choisira sa = s1 et l’on calculera alors y(Tz), valeur qui sera reportée dans
l’expression de sz. On poursuivra les itérations de la rnême manière que ccllc indiquee au début
de ce paragraphe.
Description de /a procédure d’itération - On établit une plate-forme de calcul avec la
relation (1.5) que l’on itCre suffisamment, puis on continue les calculs en itérant la relation (1.6).
7.6. Problème de la poursuite
Désignons par z(t), y(t) t
e vo les coordonnks cartésiennes et la vitesse du jardinier, puis par
X(t), Y(t) et V 1
0 es coordonnées cartésiennes et la vitesse du chien. Nous pouvons krirc :
d’où :
dX
dt
ainsi que :
Par ailleurs, nous savons que le chien se dirige en permanence vers le jardinier, nous pouvons
alors écrire :
dY
Y-Y
dY
Y-y dX
--T
~ = ~ ~ .
dX
X-X
d’ofl
dt
x-x dt
On écrit l’équation horaire du jardinier :
X
= a cos[f(t)]
et
Y
= b sin[f(t)]
dz
- = -af’(t) Ski[f(t)]
dt
et
$ = bf’(t) cos[f(t)]
d’où
[$J2+ [+y’ = u; = f2(t)[a2 + b2].
De là on tire que f’(t) est une constante et par conséquent que f(t) = wt + cp, ce qui donne :
et (o = 0 (condition initiale). Donc, à t = 0 : y = -bcos(wt) et x = asin(
Il faudra prendre garde au signe de dY/ dt ainsi que celui de X dans l’exécution des calculs
et l’on devra prévoir des tests pour affecter les bons signes.
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