ANNEXE I. C ORRIGÉS DES PROBLÈMES ET EXERCICES
b - La méthode d’Euler s’écrit simplement : yk+r = yk + hf(yk, tk) soit encore :
yk+r = -1,5yk + 0,25 puisque h = 0,05.
Pour t = 1, on obtient y = 332,63 et pour t = 2 on trouve y = 1 105 733,3 alors que le calcul
direct de la solution analytique donne la valeur 0,l pour t = 1 et t = 2; il s’agit de la valeur
asymptotique de la solution. Pour obtenir une valeur numérique raisonnable, il faut prendre un
pas h petit devant la constante de temps T = 1/50, disons par exemple h = -r/lO = 0,002. Alors
pour t = 1, on trouve y = 1,000000005 X 10-l.
2. a - On obtient :
t2
t2
s
t2
y’(t) exp(Dt) dt = -D
/’
y(t) exp(Dt) dt +
s(t) exp(Dt) dt.
t1
J’
t1
t1
Intégrons par parties le premier membre, il devient :
t2
s
t2
y’(t) exp(Dt) dt = [y(t) exp(Dt)]iT - D
s
y(t) exp(Dt) dt,
t1
t1
il s’ensuit que :
t2
y(b) exp(%) - y(tl) exp(Dtl)
=
J
s(t) exp(Dt) dt,
t1
ou encore :
t2
Y(h) = y(tl) exp[-D(t2 - tl)] + J’
s(t) exp[D(t - t2)] dt,
t1
qui est l’expression recherchée.
b - À présent,
N (t - t1)”
s(t) = C k!pk ak avec p = t2 T tl.
k=O
Alors 1 s’écrit :
ak exp[D(t - h)] dt = e ak 1
t 2 (t-t ) ‘ ”
,!,k
exp[D(t ~ h)l dt,
k=O
tl
et en posant
@ - tl)k exp[D(t - tz)] dt,
k!p”
t1
527