MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
f - Éventuellement, dans le voisinage du point z,, on adapte le pas h de telle sorte que la
relation h < 2/M avec Al = sup ]af/13 z soit vérifiée. On peut estimer M de deux façons, la
1
première consiste à dériver formellement la fonction f et la seconde à calculer numériquement
la valeur de la dérivée.
g - Pour la prédiction on écrit :
(k)
%n+1
Zm+l
s
dy = y(& - y:), =
s
fb> ~(~11 dz.
Y(?
“m-1
m 1
Il reste à calculer l’intégrale de droite, que l’on désigne par I?,,, et l’erreur que l’on commet sur
l’estimation. Pour simplifier l’écriture, on pose cp(~~) = f[~,, y(~~)], on a alors I, E 2hp(z,)
qui est l’approximation donnée par la formule de prédiction. Développons-la autour du point
G-1.
L z 2hcp(z,-l + h) = 2hp( x,-l) + 2h2p’(z,-1) + hfd’(z,-1) + . . .
Désignons par @(x) la primitive de C~(Z), son introduction va nous permettre de calculer
l’erreur sur 1. Pour cela écrivons l’expression rigoureuse de 1 puis effectuons le développement
de l’expression trouvée autour du point z,-i :
In, = @(z,-~ + 2h) ~ @(x~-~) = 2hp(z,-l) + 2h2p’(z,el) + ;h”q”(z,el).
Maintenant on obtient l’erreur e, sur Im :
avec < appartenant à (2,-i, x,+1). C omme d’habitude, on cherche une majoration de If”(z)1
dans l’intervalle considéré. Pour ce qui concerne l’erreur de correction, on a :
Ym+l = Ym + ;I/(z,,,. Ym) + f(Gn+1, Ym+dl,
et l’on reconnaît la formule des trapèzes sur laquelle nous avons déjà effectué le calcul d’erreur :
e& = ~fY~>,
avec < appartenant à (x,-i, x,+1). On note que les deux erreurs sont localement en h3.
Le programme predcor . c réalise cet algorithme.
7.5. Étude d’un phénomène transitoire obéissant à une équation différentielle du premier ordre
1. a - On trouve tout de suite la solution particulière y = l/lO, puis la solution de l’équation
sans second membre y(t) = aexp(-50t), et enfin la solution générale :
y(t) = aexp(-50t) + A,
et la condition initiale permet de déterminer a, soit : a = l/lO, ce qui donne
y(t) = $[exp(-5Ob) + 11,
quand t varie de 0 à l’infini, y(t) varie de 0,2 à 0,l.
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DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
f - Éventuellement, dans le voisinage du point z,, on adapte le pas h de telle sorte que la
relation h < 2/M avec Al = sup ]af/13 z soit vérifiée. On peut estimer M de deux façons, la
1
première consiste à dériver formellement la fonction f et la seconde à calculer numériquement
la valeur de la dérivée.
g - Pour la prédiction on écrit :
(k)
%n+1
Zm+l
s
dy = y(& - y:), =
s
fb> ~(~11 dz.
Y(?
“m-1
m 1
Il reste à calculer l’intégrale de droite, que l’on désigne par I?,,, et l’erreur que l’on commet sur
l’estimation. Pour simplifier l’écriture, on pose cp(~~) = f[~,, y(~~)], on a alors I, E 2hp(z,)
qui est l’approximation donnée par la formule de prédiction. Développons-la autour du point
G-1.
L z 2hcp(z,-l + h) = 2hp( x,-l) + 2h2p’(z,-1) + hfd’(z,-1) + . . .
Désignons par @(x) la primitive de C~(Z), son introduction va nous permettre de calculer
l’erreur sur 1. Pour cela écrivons l’expression rigoureuse de 1 puis effectuons le développement
de l’expression trouvée autour du point z,-i :
In, = @(z,-~ + 2h) ~ @(x~-~) = 2hp(z,-l) + 2h2p’(z,el) + ;h”q”(z,el).
Maintenant on obtient l’erreur e, sur Im :
avec < appartenant à (2,-i, x,+1). C omme d’habitude, on cherche une majoration de If”(z)1
dans l’intervalle considéré. Pour ce qui concerne l’erreur de correction, on a :
Ym+l = Ym + ;I/(z,,,. Ym) + f(Gn+1, Ym+dl,
et l’on reconnaît la formule des trapèzes sur laquelle nous avons déjà effectué le calcul d’erreur :
e& = ~fY~>,
avec < appartenant à (x,-i, x,+1). On note que les deux erreurs sont localement en h3.
Le programme predcor . c réalise cet algorithme.
7.5. Étude d’un phénomène transitoire obéissant à une équation différentielle du premier ordre
1. a - On trouve tout de suite la solution particulière y = l/lO, puis la solution de l’équation
sans second membre y(t) = aexp(-50t), et enfin la solution générale :
y(t) = aexp(-50t) + A,
et la condition initiale permet de déterminer a, soit : a = l/lO, ce qui donne
y(t) = $[exp(-5Ob) + 11,
quand t varie de 0 à l’infini, y(t) varie de 0,2 à 0,l.
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