ANNEXE
I. C ORRIGÉS
DES
PROBLÈMES
ET
EXERCICES
On dccomposc cette équation du deuxième ordre en un système de deux équations du premier
ordre :
dy
=
C E
et
dx
dt
- = 2&(1 - y2)x - y.
dt
Au temps tu = 0, on se donne 50 et yo quelconques, valeurs que l’on fournit au programme de
manière conversationnelle car il convient d’observer les courbes de l’espace des pha.ses pour
différents couples de ~0 et ya ainsi que pour differentes valeurs de E. Il suffit d’utiliser les
programmes proposés dans le cours en choisissant convenablement le pas dt ; il est nécessaire
de l’adapter pour chaque valeur de E.
On doit observer que, pour une valeur fixée de E, quelles que soient les conditions initiales (~0
et yo), toutes les trajectoires admettent le même cycle limite, que le point figuratif initial (20 et
yo) SC situe à l’intérieur ou à l’extérieur de ce cycle limite. Cela signifie que, si un système obéit
a cette équation diffkcnticllc~ au bout d’un certain temps (transitoire), ses oscillations seront
synchrones.
Le programme vanderp . c realisc les calculs proposés.
7.4. intégration d’une équation différentielle du premier ordre par une méthode itérative
(prédiction-correction)
a - L’équation différentielle suivante :
dy/ dx = f(x> Y)
pour x appartenant à (n, b) admet une solution unique qui prend la valeur yo pour la valeur
20 = u si les conditions des thcorèmes d’Arzelà et dc Cauchy-Liptchitz sont vcrificcs (c,$ le
cours).
b - Lc résultat est immédiat : y,,+1 = yYmPr + 21Lf(s,,,, yym).
c - On pose :
y = .f(xo, Yo)
et l’on obtient : y1 = y0 + :(u + 4w + w)
d - On écrit la relation de définition :
Yna+l - Ym
(2) - (1) + ; [f (x rn, Y!!,‘) + f (Gn+I > Y%)]
pour m > 1. On obtient la formule d’itération :
e - On cesse les iterations lorsque :
1OF” éta.nt la prkision relative retrmie.
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I. C ORRIGÉS
DES
PROBLÈMES
ET
EXERCICES
On dccomposc cette équation du deuxième ordre en un système de deux équations du premier
ordre :
dy
=
C E
et
dx
dt
- = 2&(1 - y2)x - y.
dt
Au temps tu = 0, on se donne 50 et yo quelconques, valeurs que l’on fournit au programme de
manière conversationnelle car il convient d’observer les courbes de l’espace des pha.ses pour
différents couples de ~0 et ya ainsi que pour differentes valeurs de E. Il suffit d’utiliser les
programmes proposés dans le cours en choisissant convenablement le pas dt ; il est nécessaire
de l’adapter pour chaque valeur de E.
On doit observer que, pour une valeur fixée de E, quelles que soient les conditions initiales (~0
et yo), toutes les trajectoires admettent le même cycle limite, que le point figuratif initial (20 et
yo) SC situe à l’intérieur ou à l’extérieur de ce cycle limite. Cela signifie que, si un système obéit
a cette équation diffkcnticllc~ au bout d’un certain temps (transitoire), ses oscillations seront
synchrones.
Le programme vanderp . c realisc les calculs proposés.
7.4. intégration d’une équation différentielle du premier ordre par une méthode itérative
(prédiction-correction)
a - L’équation différentielle suivante :
dy/ dx = f(x> Y)
pour x appartenant à (n, b) admet une solution unique qui prend la valeur yo pour la valeur
20 = u si les conditions des thcorèmes d’Arzelà et dc Cauchy-Liptchitz sont vcrificcs (c,$ le
cours).
b - Lc résultat est immédiat : y,,+1 = yYmPr + 21Lf(s,,,, yym).
c - On pose :
y = .f(xo, Yo)
et l’on obtient : y1 = y0 + :(u + 4w + w)
d - On écrit la relation de définition :
Yna+l - Ym
(2) - (1) + ; [f (x rn, Y!!,‘) + f (Gn+I > Y%)]
pour m > 1. On obtient la formule d’itération :
e - On cesse les iterations lorsque :
1OF” éta.nt la prkision relative retrmie.
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