MANUEL DE CALCUL NUMÉ RIQUE APPLIQUÉ
b - Lorsque 19 est petit nous pouvons écrire :
et comme Z = lu + ut, nous pouvons exprimer l’équation différcnticlle en fonction de la variable
1 (dl=vdt):
$+;$+&H=o:
sur le plan numérique, on est amené à résoudre le système :
df9
-x
dl
’
dp
-ZZZ
dl
avec les conditions initiales au tcrnps t = 0 : 0 = & rd et $ = 0 rds-i. Le programme
penduleo. c realisc ccttc proccdure.
7.2. Système électromécanique dépendant d’une équation de Mathieu (1835-1890)
La charge q(t) sur le condensateur obéit à l’équation diffkcnticllc classique :
soit, en effectuant le remplacement de la valeur de C :
LC,$ + RCof$ + y[1 + Esin(tiit)] = 0.
Il suffit de poser :
dq
-=i
dt
di
R.
1
-=
dt
-La - LCo
-[l + Esin(wit)].
Il convient de choisir le pas temporel h petit devant les periodes Ta = 27ra et T’i = 27r/wi.
Compte tenu des grandeurs numériques proposées, on doit trouver un courant oscillant qui croît
indéfinirnent. Il ne faut pas croire que les principes de la thermodynamique sont violés, le moteur
qui fait varier le condensateur fournit l’énergie.
On trouvera le programme mathieu. c qui concrétise cet algorithme.
7.3. L’équation de Van der Pol (1889-1959)
Il s’agit d’une importante équation de la physique concernant la synchronisation des systcrncs
oscillants. Elle présente aujourd’hui toujours un intérêt dans la mesure où c’est une équation non
linéaire. Son étude s’effectue dans l’espace des phases (l’abscisse est la coordonnée d’espace et
l’ordonnée la dérivée par rapport au ternps de la coordonncc d’espace) et l’equation différentielle
s’écrit :
d’y
dt2
2&(1~ yz)$ + y = 0
524
b - Lorsque 19 est petit nous pouvons écrire :
et comme Z = lu + ut, nous pouvons exprimer l’équation différcnticlle en fonction de la variable
1 (dl=vdt):
$+;$+&H=o:
sur le plan numérique, on est amené à résoudre le système :
df9
-x
dl
’
dp
-ZZZ
dl
avec les conditions initiales au tcrnps t = 0 : 0 = & rd et $ = 0 rds-i. Le programme
penduleo. c realisc ccttc proccdure.
7.2. Système électromécanique dépendant d’une équation de Mathieu (1835-1890)
La charge q(t) sur le condensateur obéit à l’équation diffkcnticllc classique :
soit, en effectuant le remplacement de la valeur de C :
LC,$ + RCof$ + y[1 + Esin(tiit)] = 0.
Il suffit de poser :
dq
-=i
dt
di
R.
1
-=
dt
-La - LCo
-[l + Esin(wit)].
Il convient de choisir le pas temporel h petit devant les periodes Ta = 27ra et T’i = 27r/wi.
Compte tenu des grandeurs numériques proposées, on doit trouver un courant oscillant qui croît
indéfinirnent. Il ne faut pas croire que les principes de la thermodynamique sont violés, le moteur
qui fait varier le condensateur fournit l’énergie.
On trouvera le programme mathieu. c qui concrétise cet algorithme.
7.3. L’équation de Van der Pol (1889-1959)
Il s’agit d’une importante équation de la physique concernant la synchronisation des systcrncs
oscillants. Elle présente aujourd’hui toujours un intérêt dans la mesure où c’est une équation non
linéaire. Son étude s’effectue dans l’espace des phases (l’abscisse est la coordonnée d’espace et
l’ordonnée la dérivée par rapport au ternps de la coordonncc d’espace) et l’equation différentielle
s’écrit :
d’y
dt2
2&(1~ yz)$ + y = 0
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