ANNEXE 1. C ORRIGÉS DES PROBLÈMES ET EXERCICES
5.9. Calcul des valeurs propres d’une matrice par la méthode de Souriau (1948)
a - Nous avons :
B, = A4 + alAqpl + a2Aqp2 + . . . + aql
B
- Aq+l + alA + a2A
q+l -
q-1 + . . . + a,+11 = A(Aq + ~A4-l + azA q-2 + ‘. + uq) + u,+1I
d’ou la relation de récurrence : B,+l = AB, + u~+~I, et si q = 0, B1 = ABo + aIl, avec la
relation de définition qui impose : Bo = I.
b - La démonstration est dans le cours. On a :
Uk = -; [sk + u1s”-l+ up9k-2 +. . . + Uk-lS1] ,
avec S” = 2 XT = Trace (A”),
j=l
où les {Xj} sont les valeurs propres de A. Donc :
uk = --i {Trace (A”) + ulTrace (A”-‘) + u2Trace (Akp2) + . . . + uk_rTrace (A)}
= -iTrace {A” + alA”-’ + u2Akp2 + . . . + Q-d}
= -iTrace {A(A”-1 + alAkp2 + u2Akp3 +. . . +u~-~I)} = -;Trace {AB~-~}.
Remarque : B, = A” + ulAn-l + u2Anp2 + . . . + a,1 = 0 d’après le théorème de CayleyHamilton.
Le programme souriau. c exploite cette procédure.
6. Interpolation
Les exercices proposés sont traités dans le cours p. 89 et suivantes.
7. Intégration des équations différentielles dans le champ réel
7.1. Étude d’un pendule de longueur variable
a - Appliquons le théorème du moment cinétique, nous obtenons :
+-(1’19) = -gl sin(B),
d’où :
1% + 22~ + gsin(8) = 0.
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