MANUEL DE CALCUL NUMÉ RIQUE APPLIQUÉ
que nous élevons au carré et nous obtenons :
sin(2cp) = ~ et cos(2cp) = ~ avec E = signe de 7,
de là on tire :
g - Comme la matrice B reste symétrique, on peut opérer sur elle au moyen des transformations
TBT dont le résultat est toujours une matrice symétrique.
Adoptons une notation pour simplifier l’écriture : Bk+l = Tp,B~qT,, pour p < q, q variant de
2 à n. k est l’ordre d’itération, en effet, ayant réalisé ?ne fois l’opération « la nouvelle matrice
B » n’est pas diagonale et l’on doit réitérer l’opération jusqu’à ce que les éléments non diagonaux
soient suffisamment nuls à une précision définie à l’avance. La fin des itérations dépend aussi de
la matrice A et de son ordre.
Dans le cas particulier où uPP = aq4, la méthode ne tombe cependant pas en défaut, car on
calcule directement la valeur des fonctions trigonométriques :
COS(~) = G
2
avec E = signe de 7.
h - Convergence de la méthode - La somme des carrés des valeurs propres de A est un
invariant dont on sait calculer la valeur :
k=l
k=l 1=1
on cesse les itérations lorsque la somme des carrés des éléments diagonaux de la matrice B” est
suffisamment proche de S2.
i - Nous avons les relations :
bqq + bpp = app + aqq
(14
bPP - bl = (%P - uqq) cos( 29) + 2a,, sin( 2p)
(1.3)
2bq = (app - uqq) sin(2cp) - 2a,, COS(~~)
(1.4)
puis on fait (1.3) au carré plus (1.4) au carré et l’on obtient :
(bpp - bqqj2 + 4$, = (app - aqr112 + 4azq,
et l’on combine cette dernière équation à (1.2) élevé au carré, puis en tenant compte du fait que
b,, = 0, on peut écrire :
b&+b&,=a~g+a&+2a~,
2
La somme des termes diagonaux augmente de 2a,,. Mais, comme la somme de tous les termes
au carré est une constante, la méthode provoque l’accroissement de la somme des carrés des
éléments de la diagonale et la diminue hors de cette diagonale de la même quantité. La méthode
est donc convergente sans condition.
Le programme jacobil. c met en œuvre cet algorithme.
522
que nous élevons au carré et nous obtenons :
sin(2cp) = ~ et cos(2cp) = ~ avec E = signe de 7,
de là on tire :
g - Comme la matrice B reste symétrique, on peut opérer sur elle au moyen des transformations
TBT dont le résultat est toujours une matrice symétrique.
Adoptons une notation pour simplifier l’écriture : Bk+l = Tp,B~qT,, pour p < q, q variant de
2 à n. k est l’ordre d’itération, en effet, ayant réalisé ?ne fois l’opération « la nouvelle matrice
B » n’est pas diagonale et l’on doit réitérer l’opération jusqu’à ce que les éléments non diagonaux
soient suffisamment nuls à une précision définie à l’avance. La fin des itérations dépend aussi de
la matrice A et de son ordre.
Dans le cas particulier où uPP = aq4, la méthode ne tombe cependant pas en défaut, car on
calcule directement la valeur des fonctions trigonométriques :
COS(~) = G
2
avec E = signe de 7.
h - Convergence de la méthode - La somme des carrés des valeurs propres de A est un
invariant dont on sait calculer la valeur :
k=l
k=l 1=1
on cesse les itérations lorsque la somme des carrés des éléments diagonaux de la matrice B” est
suffisamment proche de S2.
i - Nous avons les relations :
bqq + bpp = app + aqq
(14
bPP - bl = (%P - uqq) cos( 29) + 2a,, sin( 2p)
(1.3)
2bq = (app - uqq) sin(2cp) - 2a,, COS(~~)
(1.4)
puis on fait (1.3) au carré plus (1.4) au carré et l’on obtient :
(bpp - bqqj2 + 4$, = (app - aqr112 + 4azq,
et l’on combine cette dernière équation à (1.2) élevé au carré, puis en tenant compte du fait que
b,, = 0, on peut écrire :
b&+b&,=a~g+a&+2a~,
2
La somme des termes diagonaux augmente de 2a,,. Mais, comme la somme de tous les termes
au carré est une constante, la méthode provoque l’accroissement de la somme des carrés des
éléments de la diagonale et la diminue hors de cette diagonale de la même quantité. La méthode
est donc convergente sans condition.
Le programme jacobil. c met en œuvre cet algorithme.
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