ANNEXE I. C ORRIGÉS DES PROBLÈMES ET EXERCICES
e - On obtiendra les valeurs propres de A après avoir obtenu les coefficients du polynôme
caractéristique. Pour obtenir ceux-ci, il peut être habile de confectionner un programme récursif
(mais cela n’est pas indispensable) puisque le calcul d’un déterminant d’ordre n est une
combinaison linéaire de n déterminants d’ordre n ~ 1.
5.8. Calcul des valeurs propres d’une matrice réelle et symétrique par la méthode de Jacobi
a - On a AX = XX puis on fait X = TZ cc qui donne AT2 = XTZ. Multiplions à gauche
cette derniere équation par T-l : T-lATZ = TP’XT2 = X2. On voit que la matrice TplAT a
les mêmes valeurs propres que A mais pas les mêmes vecteurs propres.
b - Puisque A est symétrique, ses valeurs propres sont réelles, donc A est diagonalisable.
c - T est symétrique par construction, T-l est symétrique aussi car (T-l)i, = K,ij/a où KtJ
est le cofacteur et le A déterminant qui se réduit à un déterminant d’ordre deux :
COS(P)
sin(cp)
sin(cp)
-COS(P)
donc qui vaut -1. On verifie bien que TT = I (matrice unité d’ordre n).
d - Écriture des éléments de (AT), seules les colonnes p et q sont changees dans la matrice A :
colonne p
colonne q
ulTl Cos(p) + ulq sin(p)
.
alp sin(cp) - alq COS(V)
a2Tl Cos(p) + cbq sin(p)
. .
~2~ sin(cp) - ~2~ COS(P)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
uzp Cos(p) + uzq sin(p)
.
uzp sin(cp) - azq COS(P)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
unp Cos(p) + annq sin(cp)
. . .
a7,.11 sin(
lignes p et q qui sont remplacées respectivement par la colonne p et la colonne q et des éléments
à l’intersection des lignes p et q et des colonnes p et q d’autre part ; ces derniers deviennent :
bpp = upp COS~(~) + upq sin(p) COS(~) + uqp sin(p) COS(~) + uqq sin2(p)
b,, = upp sin2(cp) ~ upq sin(cp) COS(P) - uqp sin(cp) COS(V) + uq4 COS~(P)
bpq = app sin(cp) COS(P) - upq cos2(‘p) + upq sin’(cp) - uq4 sin(cp) cos(‘p)
b,P = b,,,
puisque A est symétrique, B = (TAT) est aussi symétrique.
f - On veut que b,, = bpq = 0. Soit : (upp - uq4) sin(cp) COS(P) = upcl [COS~ (cp) ~ sin2 (cp)],
ce qui
donne :
tan(2cp) = 2%
UPP - %4
r, l’angle ‘p appartenant à (-;> f) .
Il convient à présent de calculer sin(cp) et COS(P) en fonction de T. Nous avons :
sin(2cp) = 7 cos(2cp)
521
e - On obtiendra les valeurs propres de A après avoir obtenu les coefficients du polynôme
caractéristique. Pour obtenir ceux-ci, il peut être habile de confectionner un programme récursif
(mais cela n’est pas indispensable) puisque le calcul d’un déterminant d’ordre n est une
combinaison linéaire de n déterminants d’ordre n ~ 1.
5.8. Calcul des valeurs propres d’une matrice réelle et symétrique par la méthode de Jacobi
a - On a AX = XX puis on fait X = TZ cc qui donne AT2 = XTZ. Multiplions à gauche
cette derniere équation par T-l : T-lATZ = TP’XT2 = X2. On voit que la matrice TplAT a
les mêmes valeurs propres que A mais pas les mêmes vecteurs propres.
b - Puisque A est symétrique, ses valeurs propres sont réelles, donc A est diagonalisable.
c - T est symétrique par construction, T-l est symétrique aussi car (T-l)i, = K,ij/a où KtJ
est le cofacteur et le A déterminant qui se réduit à un déterminant d’ordre deux :
COS(P)
sin(cp)
sin(cp)
-COS(P)
donc qui vaut -1. On verifie bien que TT = I (matrice unité d’ordre n).
d - Écriture des éléments de (AT), seules les colonnes p et q sont changees dans la matrice A :
colonne p
colonne q
ulTl Cos(p) + ulq sin(p)
.
alp sin(cp) - alq COS(V)
a2Tl Cos(p) + cbq sin(p)
. .
~2~ sin(cp) - ~2~ COS(P)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
uzp Cos(p) + uzq sin(p)
.
uzp sin(cp) - azq COS(P)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
unp Cos(p) + annq sin(cp)
. . .
a7,.11 sin(
lignes p et q qui sont remplacées respectivement par la colonne p et la colonne q et des éléments
à l’intersection des lignes p et q et des colonnes p et q d’autre part ; ces derniers deviennent :
bpp = upp COS~(~) + upq sin(p) COS(~) + uqp sin(p) COS(~) + uqq sin2(p)
b,, = upp sin2(cp) ~ upq sin(cp) COS(P) - uqp sin(cp) COS(V) + uq4 COS~(P)
bpq = app sin(cp) COS(P) - upq cos2(‘p) + upq sin’(cp) - uq4 sin(cp) cos(‘p)
b,P = b,,,
puisque A est symétrique, B = (TAT) est aussi symétrique.
f - On veut que b,, = bpq = 0. Soit : (upp - uq4) sin(cp) COS(P) = upcl [COS~ (cp) ~ sin2 (cp)],
ce qui
donne :
tan(2cp) = 2%
UPP - %4
r, l’angle ‘p appartenant à (-;> f) .
Il convient à présent de calculer sin(cp) et COS(P) en fonction de T. Nous avons :
sin(2cp) = 7 cos(2cp)
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