ANNEXE
I. CORRIGÉS DES PROBLÈMES ET EXERCICES
Montrons que (Ari,pk) = (Apk,ri) = 0 si i > k + 1 :
En effet, la suite des {pi+r} est construite par A-orthogonalisation de ro, rI, r2, . , laquelle a
été construite par orthogonalisation de ro, Apa, Apr,. . , Api. Comme cette dernière suite a été
formée à partir de l’expression (H.8 p. 457), alors l’expression (vk, Api) = 0 avec i > k est vraie
en faisant A = 1 et en remplaçant vk+r par Apk et pi par ri ; on peut écrire alOrS :
(Vk+l>APi)=O si i>k+l soit enCOre (vk+l,pi) = 0 et (Apk,ri) = 0,
soit en définitive :
Pi+1 = ri+1 -
(ri+l, APi)
(APi, Pi) pi
b - Le maximum de tours d’itération est N, ordre du système linéaire.
5. a - E2(x) = [A(h - x), h - x] q ru n’est rien d’autre que le carré A-scalaire du résidu donc
comme A est définie positive, cela entraîne que E2(x) > 0.
b - Développons le calcul de l’erreur :
E2(xj + Zjpj) = [A(h - xj - ljpj), h - xj - ljpj]
= [A(h - xj), h - xi] - [A(h - xj), Ijpj] ~ [A(ljpj), h - xj - Ijpj]
= E2(Xj) -Ij[A(h-xj),pj] -Ij(Apj,h-xj -Zjpj).
Puisque Ah = B, on pose rj = B - Axj = Ah - Axj, il s’ensuit que :
E2(Xj + Ijpj) = E2(xj) - 2Z,(rj,pj) + l$(Apj, pj).
Dérivons cette dernière expression par rapport à 1, pour obtenir le minimum de E2 :
dE2(xj + ‘jpj) = -qrj,pj) + 2l.(Ap. p.) = 0
dl,
3
J,J
)
on obtient alors la valeur de lj :
Crj, Pj)
l’ = (Apj,pj)
Explicitons le dénominateur :
(rj, Pj) = (B, Pj) - (xj> APj).
Montrons que le dernier produit scalaire est nul; en effet, xj est une combinaison linéaire des
{pi}, donc (rj, pj) = (B, pj), et l’expression des lj devient :
CB, Pj)
lj = (Apj,pj) = ‘j’
On voit que chaque itération j rend E2(x) minimum selon l’axe des pj passant par le point
x~j. Le minimum minimorum est atteint pour x = h et alors E2(x) = 0.
519