MANUEL DE CALCUL NUMÉ RIQUE APPLIQUÉ
b - Si A = 1, alors les vecteurs A-orthogonaux deviennent orthogonaux, car :
(APk,Pd
= (Pk,Pd = 0 Si fi # 1.
Ensuite, on pose :
k-l
PL+1 = Pk + ~-fk+l,jP; + %+l,kVk+l.
j=o
Dans le cas où j < k + 1, le produit scalaire (pk,,, pi) s’exprime ainsi :
d’où :
(Pk+l,Pji) =O=Yk+l,j(Pjl>Pj)+Ylc+l,lc(Vk+l,Pj),
?k+l,j = Yk+l,k
(vk+l> Pj'>
(Pjl,Pjl>
.
On obtient yk+i,k en faisant (p k+,,pk) = 0 = (&&) f%+l,k(Vk+l,Pk), soit :
(1.1)
de là on tire l’expression de yk+i,j :
?k+l,j =
(&p;) h+ld’jl) .
(Vk+l>P;)
’ (P;>Pji>
4. a - La suite {ri} est orthogonale. Posons : vk+i = Apk et pk = rk, puis remplaçons dans
l’équation (1.1) :
6
rktl = rk + (Al%, rk)
c (APkrrj)rj
_ APk
j=. (rj, rj)
mais la somme est nulle puisque k > j. Par conséquent :
7- 2
rk+l = rk - APk cAPk, rkI >
qui constitue bien une suite orthogonale puisqu’elle obéit au processus de formation de l’équation (1.1). Par un procédé analogue, on démontre que la suite des pk est A-orthogonale. Pour
cela, on pose dans l’équation (H.7 p. 457) vk = rk puis partant de :
Pi+1 = Vi+l + 2 W+l,jPj,
avec i + 2 < N, et ai+i,j = -
(Avi+l, Pj)
j=o
(APj,Pj) ’
on obtient l’expression :
i (Ari+l, pj)
i
Pi+1 = ri+1 - C
c
(ii+1 1 Apj)
j=. (APj,Pj) ‘j = ri+1 - j=. (Apj, pj) ‘j
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