ANNEXE
1. C ORRIGÉS
DES
PROBLÈMES
ET
EXERCICES
b - Les {Pi} sont linéairement indépendants et forment une base de l’espace à N dimensions.
En effet: (Api, pj) = 0 si i # j et (Api, Pi) > 0. S’ils étaient linéairement dépendants, il existerait
au moins u11 k qui donnerait (Api, pk) > 0 ce qui est contraire à l’hypothèse.
c - h étant un vecteur de l’espace à IV dimensions qui est solution du système AX = B, il peut
s’exprimer comme u11c combinaison linéaire des vecteurs de base Pj :
N-l
h = C cipi.
i=o
Calculons les ci :
et donc on a :
cB>pk)
Ch = (APk,pk) ’
Comme
N-1 (B,Pk)
h=x
kzo (APk, Pk) Pk’
on forme la suite de vecteurs xj+r = xj + cjPj en commençant par q, = q,p,,
3. a - On a (APO,PI) = 0 = (mApI) avec PI = vl + ~10~0, soit encore : (po, Avl + ~~~~~~ =
0 = (po, AVI) + c~lo(po, Apo) car pa = vo. On en déduit :
(PO, A~I)
ci10 = - (PO, APO) .
Plus généralement, le procédé d’orthogonalisation consiste à écrire :
k
Pk+l XVk+lf~~k+l,.~Pj>
J=O
ici encore les produits scalaires : (Apk+r, Pj) = (Pk+r, Apj) = 0, avec j = 0,1, . , k, permettent
de calculer les (k + 1) coefficients CQ+~,~ et l’on trouve :
Ensuite, on peut écrire tout simplement que vk est une combinaison linéaire des Pj pour
j = 1,2, . . , k : vk = E:T0 dk;,fPj, il s’ensuit que :
(Vk,APl) = (AVk,pl) = & dk,j(Apj, PI) = 0 si j > 1,
3 =o
car les {Pi} sont A-orthogonaux.
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