MANUEL
BE
CALCUL
NUM É RIQUE APPLIQUÉ
c - L’équation A = MM” donne les relations suivantes : mT1 = a11 puis m21m11 = u12 et plus
g&6ralement : * rrL/lmll = n,l/ pour r ! = 1, 2, . , n. Dc là nous d6duisons la première ligne et la
première colonne :
a11
ml1 = *z/cI,11 puis 7n,rl = ~ pour I=2,3,4 ,..., n.
71111
On passe % la dcuxitime ligne et la deuxième colonne au rnoyrn des équations suivantes :
rr& = a22 - m& et plus généralement : mk2rn22 + mklrn,zl = a2k pour k: = 1,2, , n, dont nous
dkduisons :
Ce calcul se g&&alisc aisément :
d - Après avoir calculé les rn/k on calcule les ~1; du paragraphe c en écrivant : Y = MplB.
On résout ensuite X = M-‘Y en faisant, usage des relations établies au paragraphe b. Bien
entendu, dans les relations établies aux paragraphes b et c, on remplace les S~J par les rn,kl et
les 1kl par les mk..
On trouve sur le Wcb (*) 1 c programme choleski . c qui réalise l’algorithme:
6tudiC.
5.6. Résolution d’un système linéaire par la méthode du gradient conjugué
Nota - Pour éviter de comrncttrc quelques confusions, tout au long de ce probltimc; les vecteurs
sont no& en caractères gras.
1. - Soit ei une base orthonormale à N dimensions,
N-l
le vecteur p dc composantes pk s’écrit : p = C r>,ei
2=0
N-l
de mêrne le vecteur q s’kcrit : q = C q;e;
i-0
N-lN-1
lc produit Aq s’écrit : 4 = c c wwl
1=0 k=O
et le produit scalaire s’écrit :
N-IN-1
(P, Aq) = c c UZk’?kPI = (9, AP) = (AP, q) = (Aq, P).
.
l=O k:=O
2. a - Cornme A est une matrice définie positive. (Apj, pj) > 0 si pj # 0 ct, (Apj, pj) = 0 si
pj = 0.
*http://www.edpsciences.com/guilpin/
516
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CALCUL
NUM É RIQUE APPLIQUÉ
c - L’équation A = MM” donne les relations suivantes : mT1 = a11 puis m21m11 = u12 et plus
g&6ralement : * rrL/lmll = n,l/ pour r ! = 1, 2, . , n. Dc là nous d6duisons la première ligne et la
première colonne :
a11
ml1 = *z/cI,11 puis 7n,rl = ~ pour I=2,3,4 ,..., n.
71111
On passe % la dcuxitime ligne et la deuxième colonne au rnoyrn des équations suivantes :
rr& = a22 - m& et plus généralement : mk2rn22 + mklrn,zl = a2k pour k: = 1,2, , n, dont nous
dkduisons :
Ce calcul se g&&alisc aisément :
d - Après avoir calculé les rn/k on calcule les ~1; du paragraphe c en écrivant : Y = MplB.
On résout ensuite X = M-‘Y en faisant, usage des relations établies au paragraphe b. Bien
entendu, dans les relations établies aux paragraphes b et c, on remplace les S~J par les rn,kl et
les 1kl par les mk..
On trouve sur le Wcb (*) 1 c programme choleski . c qui réalise l’algorithme:
6tudiC.
5.6. Résolution d’un système linéaire par la méthode du gradient conjugué
Nota - Pour éviter de comrncttrc quelques confusions, tout au long de ce probltimc; les vecteurs
sont no& en caractères gras.
1. - Soit ei une base orthonormale à N dimensions,
N-l
le vecteur p dc composantes pk s’écrit : p = C r>,ei
2=0
N-l
de mêrne le vecteur q s’kcrit : q = C q;e;
i-0
N-lN-1
lc produit Aq s’écrit : 4 = c c wwl
1=0 k=O
et le produit scalaire s’écrit :
N-IN-1
(P, Aq) = c c UZk’?kPI = (9, AP) = (AP, q) = (Aq, P).
.
l=O k:=O
2. a - Cornme A est une matrice définie positive. (Apj, pj) > 0 si pj # 0 ct, (Apj, pj) = 0 si
pj = 0.
*http://www.edpsciences.com/guilpin/
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