MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
5.4. Résolution d’un système linéaire par la méthode itérative de Jacobi
a - Transformation de la matrice A’. On divise chaque ligne par l’element qui est sur sa
diagonale, si un des Ckments
de la diagonale est nul, il suffit de perrnutcr deux lignes pour
réaliser l’opérat,ion : elle est toujours possible puisque la matrice A’ est inversible, sinon cela
voudrait dire que le déterminant est nul. Apres cette transformation, désignons les Cléments de
A par alk et l’on a : QL~ = ail,/& si 1 # k et ull = 1. On obtient la matrice M aiskncnt, ses
éléments sont : rnik = a/~ si r ! # k et m// = 0. Les composantes de B s’écrivent simplement :
bl = bila;,.
b - On a la relation : [I ~ M]X = B, soit encore X = B + MX expression qui se transforme
en processus itératif, à savoir :
Xlr+1= B+MXk
que l’on peut initialiser avec X0 = 0. On obtient la suite :
Xl
= B,
x2
= B+MX1 = B+MB= [I+M]B,
X3
= B + MX2 = B + MB + M”B,
. . .
X n+1 ~ - B + MX, = B + MB + . . + M’“B = [I + M + + P]B.
Si n est infini ou simplement très grand, on peut alors écrire que :
i+ M + . . + &f” + . = 1’12,
et si l’on désigne par 2 la limite de X,,, on retrouve naturellernent que :
[I-M]Z=IB=B,
rnais 2 ne sera la solution effective que si l’algorithme est convergent, c’est-à-dire si les valeurs
propres de M sont de module inférieur à 1. Ceci n’est pas tout à fait exact: car même si la suite
des X, diverge, OII peut néanmoins faire appel à l’epsilon-algorithme vectoriel pour ramener les
choses en l’ordre. C’est ce que realise le programme
jacobi0. c.
5.5. Résolution d’un système linéaire dépendant d’une matrice symétrique
(méthode de Choleski)
1. a - On écrit : A = LS, la décomposition étant explicitée dans le chapitre 5.
On obtient : AX = LSX = B d’ou SX = Lp’B = Y.
b - L’explicitation dc la dernière equation donne :
1 SI2 S13 SI4
.
x1
0
1
s2:3
s24 . . z2
00
1
sgq
. . 2:s
0 0
1
.
24
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
514
Y1
Y2
=
y3
Y4
. .
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
5.4. Résolution d’un système linéaire par la méthode itérative de Jacobi
a - Transformation de la matrice A’. On divise chaque ligne par l’element qui est sur sa
diagonale, si un des Ckments
de la diagonale est nul, il suffit de perrnutcr deux lignes pour
réaliser l’opérat,ion : elle est toujours possible puisque la matrice A’ est inversible, sinon cela
voudrait dire que le déterminant est nul. Apres cette transformation, désignons les Cléments de
A par alk et l’on a : QL~ = ail,/& si 1 # k et ull = 1. On obtient la matrice M aiskncnt, ses
éléments sont : rnik = a/~ si r ! # k et m// = 0. Les composantes de B s’écrivent simplement :
bl = bila;,.
b - On a la relation : [I ~ M]X = B, soit encore X = B + MX expression qui se transforme
en processus itératif, à savoir :
Xlr+1= B+MXk
que l’on peut initialiser avec X0 = 0. On obtient la suite :
Xl
= B,
x2
= B+MX1 = B+MB= [I+M]B,
X3
= B + MX2 = B + MB + M”B,
. . .
X n+1 ~ - B + MX, = B + MB + . . + M’“B = [I + M + + P]B.
Si n est infini ou simplement très grand, on peut alors écrire que :
i+ M + . . + &f” + . = 1’12,
et si l’on désigne par 2 la limite de X,,, on retrouve naturellernent que :
[I-M]Z=IB=B,
rnais 2 ne sera la solution effective que si l’algorithme est convergent, c’est-à-dire si les valeurs
propres de M sont de module inférieur à 1. Ceci n’est pas tout à fait exact: car même si la suite
des X, diverge, OII peut néanmoins faire appel à l’epsilon-algorithme vectoriel pour ramener les
choses en l’ordre. C’est ce que realise le programme
jacobi0. c.
5.5. Résolution d’un système linéaire dépendant d’une matrice symétrique
(méthode de Choleski)
1. a - On écrit : A = LS, la décomposition étant explicitée dans le chapitre 5.
On obtient : AX = LSX = B d’ou SX = Lp’B = Y.
b - L’explicitation dc la dernière equation donne :
1 SI2 S13 SI4
.
x1
0
1
s2:3
s24 . . z2
00
1
sgq
. . 2:s
0 0
1
.
24
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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514
Y1
Y2
=
y3
Y4
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