ANNEXE 1. CORRIG&
DES
PROBLÈMES
ET EXFXCICES
Exemple
f(x, y) = x2 + 4;~” ~ 36 = 0
g(x, ?/) = x2 + yy2 - 12~ + 27 = 0
On calcule aisément :
8.f
bl = - = 8?J
?Y
5. Éléments de calcul matriciel
5.1. Voir le cours p. 70
5.2. Voir le cours p. 378
5.3. Résolution d’un système linéaire volumineux
La matrice Al possède 11 lignes et kl colomws, la matrice A2 possède II lignes et N - kl colonnes,
la matrice A:i possède N - II lignes et kl colonnes et enfin la matrice A,$ possède N - bl lignes
ct N ~ kl colonnes. Les vecteurs X1 et BI sont à II lignes: ct les vecteurs XL> et & à N - Il
lignes.
Pour que l’opération propos& soit possible, il faut que 11 = kl: donc que les rnatriccs Al et
A4 soient, carrées. La premitirc Cquatiorl donne :
X1 = A;I [I?l ~ AzX2].
valeur que l’on substitue dans la seconde équation :
A: Cctk kquation peut encore être transformée de la manihe suivante :
[Ad ~ A:sA;‘A2] X2 = B2 - A3A;%
ou encore :
[A~A;~A~ - Ad] x* = A,yA;lBI - B2.
Pour calculer XL; on rkalise la suite des ophkions :
1. Inversion de Al en Al’,
2. Multiplication dc Ai’ et A2 soit ALlAz,
3. Mult,iplication de AZ3 par lc résultat, prkcédent, soit A:jA;lAz,
4. Soustraction dr: la matrice A4 au rkultat prkkdent, soit A:jAF’Az ~ Ad:
5. Inversion de la matrice précédente, soit [A:jA;‘A2 - Ad]-l,
6. Calcul de AFIB1,
7. Multiplication de A:( par lc rhultat préckdcnt, soit A:IA;‘Bl:
8. Soustraction dc B2 au résultat précédent; soit A:sAF’Bl - B2.
9. Multiplication du résultat précédent par le résultat du 5.
On obtient X2, et l’on peut donc calculer A2X2, expression que l’on rc%ranclle dc Bl. il ne
reste plus qu’à multiplier Al1 par cc dernier rksultat pour avoir la valeur dc Xl.
Le programme grosys . c effectue les calculs proposks par cette procédure.
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