ANNEXE 1. C ORRIGÉS DES PROBLEMES
ET
EXERCICES
d - On recommence l’ensemble des opérations avec les nouvelles valeurs 51 et ‘yr qui se
subst,ituent aux valeurs 20 et c/o. On calcule d’abord 52 puis yJ> mais rien n’ernp&zhr
de faire
l’invcrsc. On poursuit les calculs jusqu’à obtention de la précision pcrrnisc par la machine sans
omcttrc dc rCintroduire
les dernières valeurs dans les Cyuations primitives.
4.8. Ordre d’un processus itératif
La rrkthodc dite par it,érations fonctiormc dircctcrncnt sur le scli~ma propos6 : zk+r = Q(zk).
La rnéthode de Newton est un peu moins directe : ~l”k+~ = zk ~ (a(z,)/(a’(z,) = 9(zk) rnais le
schkrra fonctionnel s’applique sur la fonction Q(zk) a.ssociée.
On écrit e,,+r = X ~ .zn+r = X ~ f(zrl). Il convient de faire disparaître z,, de cette relation
pour répondre à la question posée en notant que 2,, = X ~ eTL ; ainsi on écrit :
En développant f (, .)
L au voisinage de la racine X, on obtient alors :
l’expression se simplifie en remarquant que f(X) = X3 soit encore :
e
d.f
e;?
d2f
en
d:jf
“““=+~.~-~-gy+jg$
ek
d”f
+ . + (-1)k+12& .
* + (pour zc = X),
qui est bien un polynôme en e, dont les coefficients sont :
df
1 d2f
1 d"f
-dz
'=-! dz2
Y = $j dz"
~ pour 2 =X.
1. Application à la méthode de Newton
a - On a C~?(Z) = 0 et f(z) = 5 - [Q(z)/@‘(z)] et, 1 ‘on calcule les cocflicients Q, p ct, -y.
qp - Qzw2
+l=?E
w2
pour 32 =X,
donc (1 = 0 car 1 a”
= -gF pour z =X.
D’où l’expression de l’erreur :
b - L’application sera contract,ante si
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