MANUEL
DE
CALCUL
NUILIÉRIQUE
APPLIQUÉ
4.7. Résolution d’un système non linéaire
a - Si (X, Y) est solution du système :
f(x, y) = 0
et
,y(~: y) = 0,
il l’est 6galement de la forme yuadratiyuc :
@(x, Y) = f2(x, ?/) + .92(x, Y)
car on a f(X,Y) = 0 et par conséquent f2(X, Y) = 0 ct d c mCme pour la fonction g. Une
rernaryue s’impose si (X, Y) annule @(z, y). (X, Y) n’est pas obligatoircmcnt solution du système
primitif, car CD’(z, y) = 2ff’ + 2.99’ et ceci rnontre que l’on peut avoir d’autres racines que f = 0
et g = 0 et yuatrc combinaisons sont possibles avec les dérivées. Il faudra donc bien vérifier ce
point cn reportant lc couple (X, Y) dans les équations de départ.
b - Partant d’une approxirnation (20, yo) on va chcrchcr d’abord 5, arnéliorer la valeur de I L : et
l’on écrit :
On cherche le minimum en krivant que g = 0 ; cette relation impose que :
d’où la valeur de < :
par ailleurs, on peut
de < :
toujours effectuer un calcul direct des quantités figurant dans l’expression
aa
‘
-=2fg+zg$
dX
d2Q>
et
(y22
-=2,~+2,~+2[gf]‘+2[g$
On sait donc calculer 21 = x0 + <
c - Rien de fondamental n’est changé et il suffit de remplacer J: par y et < par q dans les
équations :
LB
avec :
On sait donc calculer y1 = y0 + q.
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