ANNEXE 1. CORRIGÉS
DES
PROBLÈMES
ET
EXERCICES
cc qui permet d’krire :
En partant de p = pu et CJ = (~0, on va calculer la racine 20. Une fois wt,te racine comme on
est cn mcsurc de calculer les coefficients du polynôme Qr,-l (z) 1 ,uis d’en calculer urlc racine.
On aboutira à, la fin du calcul au produit dc dcllx monômes dont on calculera 1~:s racines.
Attention au calcul de la dernière racine car le dernier monôme se prhcntc dc la fac;on suivante :
(Y0 + .Y&))~ + (71 + 55).
4.6. Résolution d’un système non linéaire
a - On peut tou.jours tcrire ce système sous la forme :
x 1 > = @,(x1, x2, z:~; . ,x,) avec: p = 1,2> 3,. . , n.
pour cela il suffit d’ajouter zp dans chaque membre de l’équation :
F,(Zl, x2,2:3;. . )X7,) + xp = x1> = ~p(z~,:~2, x3,. . ,x,)
avec q=l.2,3 . . . . .‘II.
b - Oil a les équations :
x(k) ~ Q >
P
xw) (k-1)
(k-1)
~
p
1
7.33
,.x3
(
(k-l)
,...rxn
>
.
dont, la solution exacte notée avec une étoile s’écrit :
.xp* = QI, (XT, x;, xi, . ) x;)) = Q>, (
xy) + El, xp + x(f) + &, >
Le dhcloppcment au premier ordre des fonctions ap conduit au rksultat suivant :
, l
. xp = ap (
( k) ( k) ( k)
x 1 > . x2 ) xtj ) . . ) xi,? +
> c
.f=l
tj2 = ,:+11+ -p
3x.j
(k+l)
&, est l’erreur sur xp au tour k tandis que :x; - x2-’
est l’erreur au tour k + 1. Dksignons
cette
erreur au tour k par ep:‘. Nous avons la relation entre les erreurs :
que nous pouvons écrire en fonction dc la matrice jacobienne :
j++l) = AI@)E(“),
Il faut faire attent,ion au fait que les matrices A&(“) voient leurs valeurs changer au cours des
calculs. Cependant lc processus sera convergent
si toutes les matrices Mk) ont tous les modules
de leurs valeurs propres inférieurs à 1. Il n’est pas aisé de réaliser ccttc condition.
Pour améliorer la vitesse de convergence, on peut ut,iliser l’cpsilon-algorithme vectoriel quand
bien même la suite des vecteurs Eck) divergerait.
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DES
PROBLÈMES
ET
EXERCICES
cc qui permet d’krire :
En partant de p = pu et CJ = (~0, on va calculer la racine 20. Une fois wt,te racine comme on
est cn mcsurc de calculer les coefficients du polynôme Qr,-l (z) 1 ,uis d’en calculer urlc racine.
On aboutira à, la fin du calcul au produit dc dcllx monômes dont on calculera 1~:s racines.
Attention au calcul de la dernière racine car le dernier monôme se prhcntc dc la fac;on suivante :
(Y0 + .Y&))~ + (71 + 55).
4.6. Résolution d’un système non linéaire
a - On peut tou.jours tcrire ce système sous la forme :
x 1 > = @,(x1, x2, z:~; . ,x,) avec: p = 1,2> 3,. . , n.
pour cela il suffit d’ajouter zp dans chaque membre de l’équation :
F,(Zl, x2,2:3;. . )X7,) + xp = x1> = ~p(z~,:~2, x3,. . ,x,)
avec q=l.2,3 . . . . .‘II.
b - Oil a les équations :
x(k) ~ Q >
P
xw) (k-1)
(k-1)
~
p
1
7.33
,.x3
(
(k-l)
,...rxn
>
.
dont, la solution exacte notée avec une étoile s’écrit :
.xp* = QI, (XT, x;, xi, . ) x;)) = Q>, (
xy) + El, xp +
Le dhcloppcment au premier ordre des fonctions ap conduit au rksultat suivant :
, l
. xp = ap (
( k) ( k) ( k)
x 1 > . x2 ) xtj ) . . ) xi,? +
> c
.f=l
tj2 = ,:+11+ -p
3x.j
(k+l)
&, est l’erreur sur xp au tour k tandis que :x; - x2-’
est l’erreur au tour k + 1. Dksignons
cette
erreur au tour k par ep:‘. Nous avons la relation entre les erreurs :
que nous pouvons écrire en fonction dc la matrice jacobienne :
j++l) = AI@)E(“),
Il faut faire attent,ion au fait que les matrices A&(“) voient leurs valeurs changer au cours des
calculs. Cependant lc processus sera convergent
si toutes les matrices Mk) ont tous les modules
de leurs valeurs propres inférieurs à 1. Il n’est pas aisé de réaliser ccttc condition.
Pour améliorer la vitesse de convergence, on peut ut,iliser l’cpsilon-algorithme vectoriel quand
bien même la suite des vecteurs Eck) divergerait.
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