ANNEXE 1. C ORRIGÉS DES PROBLÈMES ET EXER.CICHS
b - on a e,, = X ~ z,, il s’ensuit que cc,)+1 = Q(X ~ e,, ) expression que l’on va développer
en
sérit de Taylor au deuxième ordre :
et comme Q>(X) = X, on obtient au premier ordre :
d@
CE,+1 = x - e,, -.
ch
soit encore :
Pour que ce processus it&atif fonctionne, il faut que les extremums relatifs dans A n’existent,
que sur la frontike de A, ct, f(x) doit, d ont être monotone dans A. En outre, il faut que f(:r)
soit continue dans A et qu’elle n’ait pas de tangente verticale (on dit qu’tlle est lipschitziennc).
c - Calculons k = $. En rappelant que f(X) = 0 (ou B(X) = X), a p rès quelques calculs on
1
trouve : k = ~
1+ y2
ce qui rnontre que k est toujours plus pct,it que 1 ct donc que le processus
est tolljours convergent à condition de ne pas sortir du domaine A.
d - Ce processus est un processus du premier ordre. tt). du point, de viic dv la vitesse de
convergence, il est moins rapide que la méthode de Newton qui est, un processus du deuxième
ordre. En revanche, au voisinage d’une tangente horizontalc, la mbthode dc Newton devient
instable cn rejetant très loin la valeur numérique de la suite des .z,). La m6t,hode proposée nc
présente pas ce dCfaut en offrant une grande stabilité, cependant si l’on utilise cette mbthode cn
particulier, il faudra plus que ,jamais terminer lc programme par le calcul dc .f(:~,?) ct vérifier qu(’
cette valeur est suffisamment pro& de zéro. En effet: en examinant la formule tic rkurrencc
que nous avons ktablic, on peut s’apercevoir que çctte expression permet aussi de calculer les
zi:ros de la dérivée f’(x) . . .
4.5. Racines d’un polynôme à coefficients complexes
11 s’agit là d’un exercice très proche de la méthode de IJairst,ow. On kcrit :
Pn(Z) = (fio + jao)ZrL + (01 + JB)z”-’ + (a2 + jpz)Zn-2 + ‘. + (a, + j/$>)
= o~(z)Qw~(z) + (a + jQ) = [z - (p + ja)](yj + ~s,,)z’~-’ + (rl + jh,)~~
+ (y2 + js&P3 + + (rn-* + js,-1) + (Q + .jq).
L’identification des terrnes tst immédiate, on obtient :
507
b - on a e,, = X ~ z,, il s’ensuit que cc,)+1 = Q(X ~ e,, ) expression que l’on va développer
en
sérit de Taylor au deuxième ordre :
et comme Q>(X) = X, on obtient au premier ordre :
d@
CE,+1 = x - e,, -.
ch
soit encore :
Pour que ce processus it&atif fonctionne, il faut que les extremums relatifs dans A n’existent,
que sur la frontike de A, ct, f(x) doit, d ont être monotone dans A. En outre, il faut que f(:r)
soit continue dans A et qu’elle n’ait pas de tangente verticale (on dit qu’tlle est lipschitziennc).
c - Calculons k = $. En rappelant que f(X) = 0 (ou B(X) = X), a p rès quelques calculs on
1
trouve : k = ~
1+ y2
ce qui rnontre que k est toujours plus pct,it que 1 ct donc que le processus
est tolljours convergent à condition de ne pas sortir du domaine A.
d - Ce processus est un processus du premier ordre. tt). du point, de viic dv la vitesse de
convergence, il est moins rapide que la méthode de Newton qui est, un processus du deuxième
ordre. En revanche, au voisinage d’une tangente horizontalc, la mbthode dc Newton devient
instable cn rejetant très loin la valeur numérique de la suite des .z,). La m6t,hode proposée nc
présente pas ce dCfaut en offrant une grande stabilité, cependant si l’on utilise cette mbthode cn
particulier, il faudra plus que ,jamais terminer lc programme par le calcul dc .f(:~,?) ct vérifier qu(’
cette valeur est suffisamment pro& de zéro. En effet: en examinant la formule tic rkurrencc
que nous avons ktablic, on peut s’apercevoir que çctte expression permet aussi de calculer les
zi:ros de la dérivée f’(x) . . .
4.5. Racines d’un polynôme à coefficients complexes
11 s’agit là d’un exercice très proche de la méthode de IJairst,ow. On kcrit :
Pn(Z) = (fio + jao)ZrL + (01 + JB)z”-’ + (a2 + jpz)Zn-2 + ‘. + (a, + j/$>)
= o~(z)Qw~(z) + (a + jQ) = [z - (p + ja)](yj + ~s,,)z’~-’ + (rl + jh,)~~
+ (y2 + js&P3 + + (rn-* + js,-1) + (Q + .jq).
L’identification des terrnes tst immédiate, on obtient :
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