ANNEXE 1. C ORRIGÉS DES PROBLEMES
ET EXERCICES
elle 5 im minimum pour n = N = 2 ; cela signifie que la fonction cp(n) a aussi un minimum. On
va voir que c‘est le même minimum. Pour I I ” fixé, l‘crrcur sera minimum pour urlc valeur de TL( )
qui est approximativement dom& par l’égalité :
soit encore :
N!
(N + l)!
&V+I
,p+2
ce qui donne no = x ~ 1. Ce résultat n’est pas CII contradiction avec ce qui prk?de, en effet x
est mie variable rkelle tandis que ré est une variable entière. On aurait rnasqui: cette remarque
en krivant l’itgalité E,,l-l (.z) = EIL,,(x) car OII aurait, trouvk 120 = .r. On aurait tout aussi
bien pu hirr E,(,-1(2) = Eng+l(z) qUI aurait donné encore un résult,at kgèrement diffkrcnt :
cL=Jm TL( ) r~() + 1 qui a une racine approchée dc l’ordre de TL( ) = z ou 7~0 + 1 = 2.
a - Application de Iépsilon-algorithme - Le dkveloppcment asymptotique étant u11 pI’cJhIlgcment analytique, on peut s’attendre à ce que la convergence se rktlise même si la condition
précédente n’est pas vérifiée. Dans la rnesurc dc la < < calculabilitC effective » : 011 doit, trouver des
rkultats corrects aussi bien pour des pctit,es valeurs dc .z que pour dc grandes valeurs dc n.
C’est ce que nous avons vérifik.
b - Cas de /a fonction erreur - Pour ce qui concerne la fonction :
cerf(z) = 1 - 0(z) = 5 /exp(-t’) dt.
. I
011 effectue une suite d’intégration par parties ct l’on obtient :
cerf(z) = 1 ~ Q(z) =
exp( -z”)
i
1.3
1-b+-1.3.5
~~
22&
-+...
‘p,Tfi
+ (-l)+’
1.3.5...(2n-3) +,,,
y-ln/2rr-2
1
_
4. Résolution des équations numériques
4.1. Voir le cours
4.2. Voir le cours
4.3. Calcul de la fonction arctan
Comme
20 ~ arctan(z0) = 0, on peut, ajouter cette quantité à, l’équation 2 = arctan( soit :
z = arctan + 50 - arctan ou encore : z ~ 20 = arctan ~ arctan expression que l’on
transforme ainsi :
arctan[tan(z - x0)] = z - 20 = arctan ~ arctan
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ET EXERCICES
elle 5 im minimum pour n = N = 2 ; cela signifie que la fonction cp(n) a aussi un minimum. On
va voir que c‘est le même minimum. Pour I I ” fixé, l‘crrcur sera minimum pour urlc valeur de TL( )
qui est approximativement dom& par l’égalité :
soit encore :
N!
(N + l)!
&V+I
,p+2
ce qui donne no = x ~ 1. Ce résultat n’est pas CII contradiction avec ce qui prk?de, en effet x
est mie variable rkelle tandis que ré est une variable entière. On aurait rnasqui: cette remarque
en krivant l’itgalité E,,l-l (.z) = EIL,,(x) car OII aurait, trouvk 120 = .r. On aurait tout aussi
bien pu hirr E,(,-1(2) = Eng+l(z) qUI aurait donné encore un résult,at kgèrement diffkrcnt :
cL=Jm TL( ) r~() + 1 qui a une racine approchée dc l’ordre de TL( ) = z ou 7~0 + 1 = 2.
a - Application de Iépsilon-algorithme - Le dkveloppcment asymptotique étant u11 pI’cJhIlgcment analytique, on peut s’attendre à ce que la convergence se rktlise même si la condition
précédente n’est pas vérifiée. Dans la rnesurc dc la < < calculabilitC effective » : 011 doit, trouver des
rkultats corrects aussi bien pour des pctit,es valeurs dc .z que pour dc grandes valeurs dc n.
C’est ce que nous avons vérifik.
b - Cas de /a fonction erreur - Pour ce qui concerne la fonction :
cerf(z) = 1 - 0(z) = 5 /exp(-t’) dt.
. I
011 effectue une suite d’intégration par parties ct l’on obtient :
cerf(z) = 1 ~ Q(z) =
exp( -z”)
i
1.3
1-b+-1.3.5
~~
22&
-+...
‘p,Tfi
+ (-l)+’
1.3.5...(2n-3) +,,,
y-ln/2rr-2
1
_
4. Résolution des équations numériques
4.1. Voir le cours
4.2. Voir le cours
4.3. Calcul de la fonction arctan
Comme
20 ~ arctan(z0) = 0, on peut, ajouter cette quantité à, l’équation 2 = arctan( soit :
z = arctan + 50 - arctan ou encore : z ~ 20 = arctan ~ arctan expression que l’on
transforme ainsi :
arctan[tan(z - x0)] = z - 20 = arctan ~ arctan
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