ANNEXE I. CORRIGÉS
DES PROBLÈMES
ET EXERCICES
Prenons 1111 exemple : ((2) = g(= 1,644934): on calcule alors Sl00(2) = 1,634 983 903 puis on
dkduit que :
1.634983 + &
soit encore : 1,644 88
1.7. Recherche d’une tangente commune à deux courbes
a - On a yf = f(zf) et ,j(~,f) - yo ~ (of ~ zo)f’(z,f) = 0 p our la prcmi@re courhc ct pour la
seconde : yy = ,q(xg) et Y ~ yo - (J.~ ~ XO)~‘(:Z~~)
= 0.
En général il faut rechercher la racine d’équations transcendantes (voire implicites) qui
donnent Xf et X T 1 puis on calcule yf et y,. Pour cela, on utilise mie des mCthodes
itkratives
proposées dans le cours.
b - Passant par le point A, il existe cn gbéral deux tangentes à la courbe CI ct à la courbe
Cz. Il faut donc choisir la tangente la plus pctitc cri module.
c - On désigne par Al un point de la droite z = .ro dont l’ordonnée est, supbricurc au plus
grand des deux extremums de CI et Cz, et par AZ mi point de la droite z = ~0 dont l’ordonnée
est infkieure au plus petit des deux extremums de Cl et C,.
011 considCre la fonction Q = Yf ~ ~
Y, ~ Y0
menées de A aux deux courbes.
.Xf - 20
xg ~ 50
qui est la diffkrence des pentes des tangentes
Quand A parcourt le segment A1Az la fonction Q ni: s’annule
qu’une seule fois, et c’est pour cette valeur prbcisément que l’on obtient la tangente commune
aux deux courbes. La dichotomie, par exemple, peut nous permettre d’obtenir cette valeur de
yo. On examine le signe de cette fonction en Al puis en (Al + AZ)/2 ct ainsi de suite. Si la
longueur A1Az est de l’ordre de quelques unités, alors en une cinquantaine dc tours d’itkration
nous aurons obtenu la valeur de yo par où passe la tangente commune avec WC précision dr,
l’ordre de 10pl’.
À condition que les fonctions f(x) et g( )
n: soit calculables dc façon semblable, pour avoir des
erreurs semblables sur les calculs dc z f et ICI, et une bonne précision sur la fonction @, il faut
choisir x0 approximativement au milieu de l’intervalle (of, :rg).
d - Dans le cas de fonctions implicites, on a Q’(zf. y,f) = 0. La tangente à CI s’écrit :
dy
d’ofI:
-‘$!L
dz
pour .T = Xf et y = yf
Y
Yf - Y0
On écrit encore : ~
%
Zf -2n
= -F pour z = of et y = yf. Donc, pour connaître les valeurs : xz. ~
et yf, il faut résoudre le système &n linéaire de deux Cquations à deux inconnues par une des
méthodes itératives proposées dans lc cours. On opère de la môme façon pour l’autjrc tangente
pour laquelle on écrit :
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DES PROBLÈMES
ET EXERCICES
Prenons 1111 exemple : ((2) = g(= 1,644934): on calcule alors Sl00(2) = 1,634 983 903 puis on
dkduit que :
1.634983 + &
soit encore : 1,644 88
1.7. Recherche d’une tangente commune à deux courbes
a - On a yf = f(zf) et ,j(~,f) - yo ~ (of ~ zo)f’(z,f) = 0 p our la prcmi@re courhc ct pour la
seconde : yy = ,q(xg) et Y ~ yo - (J.~ ~ XO)~‘(:Z~~)
= 0.
En général il faut rechercher la racine d’équations transcendantes (voire implicites) qui
donnent Xf et X T 1 puis on calcule yf et y,. Pour cela, on utilise mie des mCthodes
itkratives
proposées dans le cours.
b - Passant par le point A, il existe cn gbéral deux tangentes à la courbe CI ct à la courbe
Cz. Il faut donc choisir la tangente la plus pctitc cri module.
c - On désigne par Al un point de la droite z = .ro dont l’ordonnée est, supbricurc au plus
grand des deux extremums de CI et Cz, et par AZ mi point de la droite z = ~0 dont l’ordonnée
est infkieure au plus petit des deux extremums de Cl et C,.
011 considCre la fonction Q = Yf ~ ~
Y, ~ Y0
menées de A aux deux courbes.
.Xf - 20
xg ~ 50
qui est la diffkrence des pentes des tangentes
Quand A parcourt le segment A1Az la fonction Q ni: s’annule
qu’une seule fois, et c’est pour cette valeur prbcisément que l’on obtient la tangente commune
aux deux courbes. La dichotomie, par exemple, peut nous permettre d’obtenir cette valeur de
yo. On examine le signe de cette fonction en Al puis en (Al + AZ)/2 ct ainsi de suite. Si la
longueur A1Az est de l’ordre de quelques unités, alors en une cinquantaine dc tours d’itkration
nous aurons obtenu la valeur de yo par où passe la tangente commune avec WC précision dr,
l’ordre de 10pl’.
À condition que les fonctions f(x) et g( )
n: soit calculables dc façon semblable, pour avoir des
erreurs semblables sur les calculs dc z f et ICI, et une bonne précision sur la fonction @, il faut
choisir x0 approximativement au milieu de l’intervalle (of, :rg).
d - Dans le cas de fonctions implicites, on a Q’(zf. y,f) = 0. La tangente à CI s’écrit :
dy
d’ofI:
-‘$!L
dz
pour .T = Xf et y = yf
Y
Yf - Y0
On écrit encore : ~
%
Zf -2n
= -F pour z = of et y = yf. Donc, pour connaître les valeurs : xz. ~
et yf, il faut résoudre le système &n linéaire de deux Cquations à deux inconnues par une des
méthodes itératives proposées dans lc cours. On opère de la môme façon pour l’autjrc tangente
pour laquelle on écrit :
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