ANNEXE I. C ORRIGÉS DES PROBLÈMES ET EXERC~~ES
d’excellents résultats si l’on tronque habilcmcnt la série. Lorsque l’on rkglige les termes après
le rang IL, on commet sur -y wic erreur strictement mathématique inférieure à 2B,,/(2p~rn2~“).
Fixons m 2 la valeur 100 par exemple et regardons quelle doit etre la valeur de p pour obtenir
la meilleure prkcision rnathématiquc. R.aisormons
encore sur les erreurs absolues nous pouvons
écrire :
Il n‘y a pas d’autre solution que d’effectuer une tabulation pour p = 1,2.3, Rkalisons cette
opi‘ration pour / L = 4 et 5, on obtient rcspcctivement pour le membre de droite :
1
1OK”
5
120 100s cz
et
660 l()()lO = 10-22.
En conclusion; CII choisissant m = 4; l’erreur de troncature strictement mathkmatique est
infkrieure à la précision usuelle de 10V1”. Il convient d’kvaluer les erreurs liées à. l‘exkution des
calculs, elles seront majorCes
par 4mlOVl’ avec m = 100. autrement dit on aura rnieux que
13 chiffres significatifs.
1.5. Calcul numérique des dérivées d’un polynôme à coefbcients réels pour la valeur x = r
a - Le schéma de Horner (1786 1837) est un algorithrne qui permet de calculer la valeur d’un
polynôme au moyen d’un nombre minimum d’opérations en utilisant un système de parenthkscs :
,I
Pr?,(x) = CU& =
k=O
{. . [{ [(a02 + Ul)X + aa]z + u:3}x + u,] II” + . . }x + arr
Pour z = T, on calcule donc la suite :
vo
= ao
?Il
= ‘Uo7’ + (11
va
= l!lr + CL2
. . . . . .
lik+l = IlkT + C&+l
. . . . . .
VT7 = Y,,-l7- + CI,, = P, (7”)
b - On écrit la suite des polynômes :
PT,(X)
= (x ~ .)P,,-r(x) + R,
p,,-r(x) = (x ~ 7-)Pc2(z) + RT,-1
ii-,$j’- (x ~ r)~rl-,-l(21) + R,-,
. . . . . .
fi(x)
= (.x - ~)I’“(X) + RI.
On krit P”(x) = R. car P ( ) ‘.t
0 x C, s I une simple constante.
C - Le polynôme prend la forme :
PTT(x) = (x - T)“R~I + (x - r)“-lR1 + t.. + (x ~ T)‘~-“R~, + . . + (CE - r)R,,p, + R,,
501
d’excellents résultats si l’on tronque habilcmcnt la série. Lorsque l’on rkglige les termes après
le rang IL, on commet sur -y wic erreur strictement mathématique inférieure à 2B,,/(2p~rn2~“).
Fixons m 2 la valeur 100 par exemple et regardons quelle doit etre la valeur de p pour obtenir
la meilleure prkcision rnathématiquc. R.aisormons
encore sur les erreurs absolues nous pouvons
écrire :
Il n‘y a pas d’autre solution que d’effectuer une tabulation pour p = 1,2.3, Rkalisons cette
opi‘ration pour / L = 4 et 5, on obtient rcspcctivement pour le membre de droite :
1
1OK”
5
120 100s cz
et
660 l()()lO = 10-22.
En conclusion; CII choisissant m = 4; l’erreur de troncature strictement mathkmatique est
infkrieure à la précision usuelle de 10V1”. Il convient d’kvaluer les erreurs liées à. l‘exkution des
calculs, elles seront majorCes
par 4mlOVl’ avec m = 100. autrement dit on aura rnieux que
13 chiffres significatifs.
1.5. Calcul numérique des dérivées d’un polynôme à coefbcients réels pour la valeur x = r
a - Le schéma de Horner (1786 1837) est un algorithrne qui permet de calculer la valeur d’un
polynôme au moyen d’un nombre minimum d’opérations en utilisant un système de parenthkscs :
,I
Pr?,(x) = CU& =
k=O
{. . [{ [(a02 + Ul)X + aa]z + u:3}x + u,] II” + . . }x + arr
Pour z = T, on calcule donc la suite :
vo
= ao
?Il
= ‘Uo7’ + (11
va
= l!lr + CL2
. . . . . .
lik+l = IlkT + C&+l
. . . . . .
VT7 = Y,,-l7- + CI,, = P, (7”)
b - On écrit la suite des polynômes :
PT,(X)
= (x ~ .)P,,-r(x) + R,
p,,-r(x) = (x ~ 7-)Pc2(z) + RT,-1
ii-,$j’- (x ~ r)~rl-,-l(21) + R,-,
. . . . . .
fi(x)
= (.x - ~)I’“(X) + RI.
On krit P”(x) = R. car P ( ) ‘.t
0 x C, s I une simple constante.
C - Le polynôme prend la forme :
PTT(x) = (x - T)“R~I + (x - r)“-lR1 + t.. + (x ~ T)‘~-“R~, + . . + (CE - r)R,,p, + R,,
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