MANIJEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
Tableau 1.3.
440,OO Hz 771%
466.16 Hz
mi # oufa
493,88 Hz
fa]+ ou SOlb
523,25 Hz
SO1
554 37
587133
H7 J
sol~/r 011 lU(,
Hz
la
622,25 Hz
659 25 Hz
698146 Hz
739,99 Hz
783,99 Hz
830.61 Hz
880,OO Hz
1.4. Calcul de la constante d’Euler (1707-1783)
Avec mie machine qui cffcctue les calculs avec une précision relative de 10-q. on obtient, la
précision optimale lorsque deux valeurs consécutives de la suite des ~k seront égales à la prkision
dc la représentation. soit :
En admettant que yk soit minore par 1/2, on obtient l’équation transcendante qui donne k en
fonction de y c’est-à-dire :
1
Ic+1
~ - l oge 7
k+1
( )l
c = z 2 10-9
Sachant que k est t,res grand devant l’unité, on peut se livrer aux approximations commodes :
il s’ensuit :
de là on tire une valeur approchee dc k FX J1/2 109/“. En utilisant mie représentation de
16 chiffres significatifs, il faut calculer environ dix millions dc termes ce qui est évidemment
prohibitif s’il existe d’autres méthodes. Estimons néanmoins l’erreur risquant d’affecter le
rksultat, dans le cas le plus pessimiste évidemment. Écrivons la relation de rkcurrence entre
deux valeurs conskutives de -yk :
1
%+1 = yhY + ~
k+1
kS1
- log,, 7
( 1
il faut rkaliser à peu près 2k a.dditions (soustractions) qui introduisent une crrcur absolue de
l’ordre de 2.10-” dans le pire des cas. On ne pourra donc compter que sur 7 ehiffrcs significatifs
après tant de calculs...
Il n’y a pas de difficulti: majeure à programmer la relation faisant intervenir les nombres
dc Bernoulli, il s’agit d’un dévcloppcment asymptotiquc qui est divcrgcnt mais qui donne
500