MANUEL IIE CALCUL NTJMÉRIQUE APPLIQUÉ
Cette condition donne l’erreur relative la plus petite sur le calcul de y. mais le procédé est
coûteux en temps de calcul. Le calcul direct de y donne par la résolution de l‘équation du
deuxieme degré fournit une erreur relative plus grande : il faut tenir compte de l’erreur sur la
racine cari& puis de l’erreur sur la soustraction suivie de l’erreur sur la division...
Remarque : Sur le plan de la programmation, il ne faut pas réserver un tableau pour la variable
indicée k,,, seules deux valeurs consécutives sont nCcessaircs et suflisantes, et l’on fera 1111 dkalage
chaque fois que l’on calculera une nouvelle valeur. D’ailleurs, o11 nc connaît pas la taille de cc
tableau.
1.2. Les polynômes de Tchebycheff
Posons 1~ = arccos( puis écrivons la relation de définition pour TrLpi (XT) et T,,+i (x) :
T,,+l(x) = COS[(~ - l)y] = cos(ny) cas(y) + sin(ny) sin(v)
TT1+l(x) = cos[(n + l)y] = cos(ny) Cos(y) - sin(ny) siri
additionnons ces deux relations :
T,,,l(Z) + TTLpl(X) = 2cos(ny) COS(Y)
enfin retournons aux anciennes variables en remarquant que 2 = COS(~/); soit :
C’est donc une relation de récurrence entre trois polynômes consécutifs. Pour l’utiliser, il suffit
dc connaître les deux prerniers polynômes T~(X) et T~(Z) à savoir :
T”(Z) = COS(O) = 1,
et T~(Z) = cos[arccos(z)] = z
Ici encore, il ne faut pas utiliser de tableaux sauf si l’on désire effectuer IIIE représentation
graphique dc ces polynômes.
Il existe une source de difficultés qui va affecter la precision : le second membre de la relation de
recurrence est une différence, il s’ensuit que, si les deux termes sont sensiblement les rnêrnes, une
erreur importante pourra surgir et qui se propagera au cours des calculs. Il est donc intéressant
de comparer les résultats obtenus avec l’utilisation directe de la fonction arccos en cherchant
à rnettre en défaut l’algorithme. Il s’agit de faire ses gamrnes...
1.3. Calcul des fréquences de la gamme naturelle et de la gamme tempérée
Une des façons de fonder la garnme naturelle consiste à calculer les fréquences au moyen des
quintes qui se situent sept demi-tons majeurs au-dessus de la note précedcnte : le rapport des
fréquences est trois sur deux. Ce processus permet de déterminer les dicses. Pour ce qui concerne
les bemols, ils sont déterminés par les quintes qui se situent sept demi-tons majeurs au-dessous
de la note précédente, les fréquences sont dans le rapport deux sur trois. Une manière sirnple
d’opérer consiste à ecrire les douze demi-tons de la gamme puis à les calculer successivement.
Si la fréquence d’une note sort de la gamme à detcrminer, on la divise par deux s’il s’agit des
dièses ou on la multiplie par deux s’il s’agit des bémols. Cornmençons à partir du la3 (440 Hz)
par définir les dièses.
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Cette condition donne l’erreur relative la plus petite sur le calcul de y. mais le procédé est
coûteux en temps de calcul. Le calcul direct de y donne par la résolution de l‘équation du
deuxieme degré fournit une erreur relative plus grande : il faut tenir compte de l’erreur sur la
racine cari& puis de l’erreur sur la soustraction suivie de l’erreur sur la division...
Remarque : Sur le plan de la programmation, il ne faut pas réserver un tableau pour la variable
indicée k,,, seules deux valeurs consécutives sont nCcessaircs et suflisantes, et l’on fera 1111 dkalage
chaque fois que l’on calculera une nouvelle valeur. D’ailleurs, o11 nc connaît pas la taille de cc
tableau.
1.2. Les polynômes de Tchebycheff
Posons 1~ = arccos( puis écrivons la relation de définition pour TrLpi (XT) et T,,+i (x) :
T,,+l(x) = COS[(~ - l)y] = cos(ny) cas(y) + sin(ny) sin(v)
TT1+l(x) = cos[(n + l)y] = cos(ny) Cos(y) - sin(ny) siri
additionnons ces deux relations :
T,,,l(Z) + TTLpl(X) = 2cos(ny) COS(Y)
enfin retournons aux anciennes variables en remarquant que 2 = COS(~/); soit :
C’est donc une relation de récurrence entre trois polynômes consécutifs. Pour l’utiliser, il suffit
dc connaître les deux prerniers polynômes T~(X) et T~(Z) à savoir :
T”(Z) = COS(O) = 1,
et T~(Z) = cos[arccos(z)] = z
Ici encore, il ne faut pas utiliser de tableaux sauf si l’on désire effectuer IIIE représentation
graphique dc ces polynômes.
Il existe une source de difficultés qui va affecter la precision : le second membre de la relation de
recurrence est une différence, il s’ensuit que, si les deux termes sont sensiblement les rnêrnes, une
erreur importante pourra surgir et qui se propagera au cours des calculs. Il est donc intéressant
de comparer les résultats obtenus avec l’utilisation directe de la fonction arccos en cherchant
à rnettre en défaut l’algorithme. Il s’agit de faire ses gamrnes...
1.3. Calcul des fréquences de la gamme naturelle et de la gamme tempérée
Une des façons de fonder la garnme naturelle consiste à calculer les fréquences au moyen des
quintes qui se situent sept demi-tons majeurs au-dessus de la note précedcnte : le rapport des
fréquences est trois sur deux. Ce processus permet de déterminer les dicses. Pour ce qui concerne
les bemols, ils sont déterminés par les quintes qui se situent sept demi-tons majeurs au-dessous
de la note précédente, les fréquences sont dans le rapport deux sur trois. Une manière sirnple
d’opérer consiste à ecrire les douze demi-tons de la gamme puis à les calculer successivement.
Si la fréquence d’une note sort de la gamme à detcrminer, on la divise par deux s’il s’agit des
dièses ou on la multiplie par deux s’il s’agit des bémols. Cornmençons à partir du la3 (440 Hz)
par définir les dièses.
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