1 Corrigés des problèmes
et exercices
1. Généralités sur le calcul numérique
1.1. Calcul du nombre d’or
La suite U,, est formée de termes strictement positifs pour 12 > 0. La suite k,, est evidcmment
minorée par 0, il suffit dc mont,rer qu’elle admet une limite supérieure, pour cela: il suffit dc
remarquer que U,, = U,,-r + UTLPz et d’écrire la relat,ion de définition de k,, :
k:,,,x3L++5zE1+p.
G-1
n
1
un-1
v. 1
Le dernier terme est plus petit que 2 car la suite U, est strictement eroissantc ct, positive; on
en conclut que k, est compris entre 0 et 2 quel que soit n > 2 ct que la suite k,, admet donc
imc limite.
D&@ons par y cette limite: on écrit alors : Un+1 - U,, - UTzpl = 0 et, l’on divise chaque terme
par U,-r qui est différent de zéro pour n > 2. On obtient donc :
Quand n tend vers l’infini la dernière équation devient : y2 - y - 1 = 0; dont, la racine positive
est :
1+2/5
Y=
2
~ = 1,618033989.. .
Sur le plan du calcul numérique de y au moyen de la suite dc Fibonacci, OII remarque que
k,, est lc rapport dc deux entiers Un et UTL-l lesquels admett,cnt une représentation sans crrcur
(pourvu qu’ils possèdent, moins de 16 chiffres significatifs en notation décimale si l‘on envisage
l’usage du langage C en double précision). La seule erreur sur k,, est donc l’erreur liée a la
division. Si l’on sc ramène à l’erreur relative, il sera inutile de poursuivre les calculs apri:s que
deux valeurs consécutives de k, seront égales a la précision relative E, donnée par la machine
(et le langage utilise) ; cela se traduit par l’Égalité :
et exercices
1. Généralités sur le calcul numérique
1.1. Calcul du nombre d’or
La suite U,, est formée de termes strictement positifs pour 12 > 0. La suite k,, est evidcmment
minorée par 0, il suffit dc mont,rer qu’elle admet une limite supérieure, pour cela: il suffit dc
remarquer que U,, = U,,-r + UTLPz et d’écrire la relat,ion de définition de k,, :
k:,,,x3L++5zE1+p.
G-1
n
1
un-1
v. 1
Le dernier terme est plus petit que 2 car la suite U, est strictement eroissantc ct, positive; on
en conclut que k, est compris entre 0 et 2 quel que soit n > 2 ct que la suite k,, admet donc
imc limite.
D&@ons par y cette limite: on écrit alors : Un+1 - U,, - UTzpl = 0 et, l’on divise chaque terme
par U,-r qui est différent de zéro pour n > 2. On obtient donc :
Quand n tend vers l’infini la dernière équation devient : y2 - y - 1 = 0; dont, la racine positive
est :
1+2/5
Y=
2
~ = 1,618033989.. .
Sur le plan du calcul numérique de y au moyen de la suite dc Fibonacci, OII remarque que
k,, est lc rapport dc deux entiers Un et UTL-l lesquels admett,cnt une représentation sans crrcur
(pourvu qu’ils possèdent, moins de 16 chiffres significatifs en notation décimale si l‘on envisage
l’usage du langage C en double précision). La seule erreur sur k,, est donc l’erreur liée a la
division. Si l’on sc ramène à l’erreur relative, il sera inutile de poursuivre les calculs apri:s que
deux valeurs consécutives de k, seront égales a la précision relative E, donnée par la machine
(et le langage utilise) ; cela se traduit par l’Égalité :