M ANUEL
DE
CALCUL
NUMÉ RIQUE
APPLIQUÉ
Peut.-on approcher la loi de solubilité par 1me relation linCaire? On justifiera la réponse puis on
calculera les coefficients de la droite de régression de y en T: cocfficicnts obtenus par la méthode
des rnoindres carrés.
On désire connaître la solubiliti: pour la valeur T = 40 laquelle ne figure pas dans le tableau.
Donner alors la valeur correspondante de la solubilitk ainsi que l’intervalle de confiance de cette
détermination pour 1111 niveau de confiance dc O;9.
On donne ml extrait de la table de Student :
to.os(7) = 1,895
t0.05(9) = 1,833
to,1(7) = 1,415
toJ(9) = 1,383.
19. Les fractions continues
19.1. Calcul d’une fonction donnée sous forme d’une fraction continue
On dit que la fonction ?I(X) est donnkc sous forme d‘une fkction continue lorsqu’elle s’écrit sous
la forme :
Y(X) = Ao + ~
Al +
On SC propose de la calculer à l’ordre T L . Pour y parvenir, on forme une suite (l’approxirnatiorls
EL EL u, ,.,
Qi'Qz'Q3'
, 2 qui sont respectivement à l’ordre 1, à l’ordre 2, . à l’ordre ~1, .
a - Au moyen d’ml raisonrlement par récurrence, démontrer les relations suivantes :
En+-I(Z) = A,,,P,,(~) + (x ~ ~~,-i)~m-i(~)
Q,rr+~(x) = AmQrn(z) + (ix ~ c~r,~)Qm-, (21) avec Pn = 1, PI = Au, Q,, = 0: QI = 1.
b - En supposant que f( ) , t
I I : es une fonction continue indéfiniment dkrivablc sur WI intervalle
contenant I I : et ~0, on SC propose d’étudier le développcmcnt de la fonction f(z) au voisinage de
la valeur Q de la variable C C qui est de la forme suivante :
Donner les valeurs de Ao et de Al en fonction de f(z) et de ses dérivées
k+l
~ k-l
c - On montre que les Ak obéissent à la relation de récurrence ~ ~
A&i- 1
n,., + 2. Donner
la valeur de As en fonct,ion des coefficients ck = &.f(k)(~O) avec k = 0: 1,2,.
d - Donner le développcmcnt de log,, (1 + X) en fraction continue, puis calculer numériquement
la valeur dc log,, (2).
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DE
CALCUL
NUMÉ RIQUE
APPLIQUÉ
Peut.-on approcher la loi de solubilité par 1me relation linCaire? On justifiera la réponse puis on
calculera les coefficients de la droite de régression de y en T: cocfficicnts obtenus par la méthode
des rnoindres carrés.
On désire connaître la solubiliti: pour la valeur T = 40 laquelle ne figure pas dans le tableau.
Donner alors la valeur correspondante de la solubilitk ainsi que l’intervalle de confiance de cette
détermination pour 1111 niveau de confiance dc O;9.
On donne ml extrait de la table de Student :
to.os(7) = 1,895
t0.05(9) = 1,833
to,1(7) = 1,415
toJ(9) = 1,383.
19. Les fractions continues
19.1. Calcul d’une fonction donnée sous forme d’une fraction continue
On dit que la fonction ?I(X) est donnkc sous forme d‘une fkction continue lorsqu’elle s’écrit sous
la forme :
Y(X) = Ao + ~
Al +
On SC propose de la calculer à l’ordre T L . Pour y parvenir, on forme une suite (l’approxirnatiorls
EL EL u, ,.,
Qi'Qz'Q3'
, 2 qui sont respectivement à l’ordre 1, à l’ordre 2, . à l’ordre ~1, .
a - Au moyen d’ml raisonrlement par récurrence, démontrer les relations suivantes :
En+-I(Z) = A,,,P,,(~) + (x ~ ~~,-i)~m-i(~)
Q,rr+~(x) = AmQrn(z) + (ix ~ c~r,~)Qm-, (21) avec Pn = 1, PI = Au, Q,, = 0: QI = 1.
b - En supposant que f( ) , t
I I : es une fonction continue indéfiniment dkrivablc sur WI intervalle
contenant I I : et ~0, on SC propose d’étudier le développcmcnt de la fonction f(z) au voisinage de
la valeur Q de la variable C C qui est de la forme suivante :
Donner les valeurs de Ao et de Al en fonction de f(z) et de ses dérivées
k+l
~ k-l
c - On montre que les Ak obéissent à la relation de récurrence ~ ~
A&i- 1
n,., + 2. Donner
la valeur de As en fonct,ion des coefficients ck = &.f(k)(~O) avec k = 0: 1,2,.
d - Donner le développcmcnt de log,, (1 + X) en fraction continue, puis calculer numériquement
la valeur dc log,, (2).
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