ANNEXE H. PROBLÈMES ET EXERCICES
e - Rappeler le développement de log, (1 + z) en skie de MacLaurin, puis calculer mnnkriquement la valeur de log,(2) en retenant les quatre premiers termes.
f - Estimer l’erreur entachant les résultats obtenus aux $ d et e. Expliquer pourquoi le
dkvelopperncnt en fractions continues présente un avantage sur le d&cloppemcnt en skie de
MacLaurin.
20. Éléments de traitement du signal
20.1. Détermination d’une constante de temps
On dksire réaliser l’ét,ude expérimentale de la décharge d’ur1 condensateur C à travers une
résistance R. Pour cela on mesure la tension V; aux bornes du condensateur à des temps t,. Les
résultats obtenus sont prkentés dans le tablrau H.6.
Tableau H.6.
t (SI
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
v (volt)
100
75
55
40
30
20
15
10
10
5
5
On SC propost d’étudier ces dormécs selon deux approches diffkrcntes. rnais avant dc passer
aux applications numériques, on établira des relations générales obtenues en considérant que :
1. les données sont numkotées de 0 à N:
2. les t,cmps ti sont en progression arithmétique de raison At.
Rappeler l’expression analytique de la tension V en fonction du temps t.
Approche no 1 - Montrer qu’au moyen d’une transformation convenable, on peut se ramener
à un problème linéaire dont on dktermincra les constantes au moyen dc la rnéthodc des moindres
carrks. On dCsigne par a l’inverse dc la constante de temps. Donner la valeur nurrkrique
de a
ainsi qur l’intervalle de confiance & da dCfini de telle sorte qu’il y ait 70 chances sur 100 que le
résultat réel tornbc à l’intkricur de cet int,ervallc.
Approche no 2 - On recherche V(t) sous la forme suivante :
V(t) = A + B exp(b . t),
et l’on se propose d’obtenir A, B et, b par la rrkthode des moindres carrés. Pour se faire, on
pose :
‘ 1 L = exp(b . At)
et p, = exp(D t2) = exp[b(to + iAt)].
Donner l’expression de V, en fonction dc A et pi, puis celles de y,+, , V,+, . cn fonction de
A, p.7 et U.
Si l’on note AV, = yy+, - Vj, donner alors les expressions de AV,, Ay,+ etc.
Éliminer pk entre deux AV, conskutifs et donner l’kluation qui les lie. Combien obt,iendra-t,on de ces kquations? On désignera par K cc nombre. Résoudre ce systCme de K kquations à, une
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e - Rappeler le développement de log, (1 + z) en skie de MacLaurin, puis calculer mnnkriquement la valeur de log,(2) en retenant les quatre premiers termes.
f - Estimer l’erreur entachant les résultats obtenus aux $ d et e. Expliquer pourquoi le
dkvelopperncnt en fractions continues présente un avantage sur le d&cloppemcnt en skie de
MacLaurin.
20. Éléments de traitement du signal
20.1. Détermination d’une constante de temps
On dksire réaliser l’ét,ude expérimentale de la décharge d’ur1 condensateur C à travers une
résistance R. Pour cela on mesure la tension V; aux bornes du condensateur à des temps t,. Les
résultats obtenus sont prkentés dans le tablrau H.6.
Tableau H.6.
t (SI
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
v (volt)
100
75
55
40
30
20
15
10
10
5
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On SC propost d’étudier ces dormécs selon deux approches diffkrcntes. rnais avant dc passer
aux applications numériques, on établira des relations générales obtenues en considérant que :
1. les données sont numkotées de 0 à N:
2. les t,cmps ti sont en progression arithmétique de raison At.
Rappeler l’expression analytique de la tension V en fonction du temps t.
Approche no 1 - Montrer qu’au moyen d’une transformation convenable, on peut se ramener
à un problème linéaire dont on dktermincra les constantes au moyen dc la rnéthodc des moindres
carrks. On dCsigne par a l’inverse dc la constante de temps. Donner la valeur nurrkrique
de a
ainsi qur l’intervalle de confiance & da dCfini de telle sorte qu’il y ait 70 chances sur 100 que le
résultat réel tornbc à l’intkricur de cet int,ervallc.
Approche no 2 - On recherche V(t) sous la forme suivante :
V(t) = A + B exp(b . t),
et l’on se propose d’obtenir A, B et, b par la rrkthode des moindres carrés. Pour se faire, on
pose :
‘ 1 L = exp(b . At)
et p, = exp(D t2) = exp[b(to + iAt)].
Donner l’expression de V, en fonction dc A et pi, puis celles de y,+, , V,+, . cn fonction de
A, p.7 et U.
Si l’on note AV, = yy+, - Vj, donner alors les expressions de AV,, Ay,+ etc.
Éliminer pk entre deux AV, conskutifs et donner l’kluation qui les lie. Combien obt,iendra-t,on de ces kquations? On désignera par K cc nombre. Résoudre ce systCme de K kquations à, une
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