MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
17.3. Test d’indépendance stochastique du tirage d’un échantillon
On considère lc jeu de pile ou face dura.nt lequel on note la succession des apparitions. On note
A l’apparition de face et B l’apparition de pile, la prohahiliti: de prkenter l’une des deux faces
est 0,5.
On appelle chaîne de longueur n, la suite des A et B obtenue durant l’cxpkricnce, dans l’ordre
dc leur apparition, au moyen de n tirages conskcutifs. On appelle sous-chaîne une suite constituée
uniquement dc A (ou dc B) limitk à droit? ct k gauche par un B (resp. A). Nous nous proposons
d’étudier quelques caractéristiques des chaînes et des sous-chaînes.
Partie 1. a - Montrer que la probabilité T de tirer une sous-chaîne constitube de 11, éléments
(sous-chaîne de longueur p contenant pA ou p1B) est égale à ( 1/2)IL. On bnonccra lc thi:oremc,
sur lequel se fonde le calcul.
b - Calculer rn la longueur rnoyenne et 0 l’écart type des sous-chaînes.
c - On effectue le tirage de K sous-chaînes. Donner XK la longueur rnoyenne des chaînes
contenant K sous-chaînes.
d - Dormcr la probabilité P d’obtenir au moins une sous-chaîne (parrni les K), dont la longueur
VI soit supérieure ou égale à une valeur arbitraire positive A& (on pourra éventuellement calculer
la probabilitk contra.ire). On énoncera le théorème sur lequel se fonde le calcul.
Applicat)ion numérique : K = 10; UC, = 8, calculer P.
e - On souhaite que la prohabilitk P d’obtenir au moins IIIE sous-chaîne dc longueur supbricurc
ou égale à I& soit inférieure ou égale à 0,05. Donner alors la relation cntrc A)& et K: puis donner
IIIE cxprcssion approchée de IL& en fonction de la longueur ‘n de la chaîne (011 prendra n = 2K).
f - Ce résultat peut ctrc utilisk comme test no 1 servant & vérifier l’indépcndancc stochastique
des résultats d’observation (test fondé sur la mi:diane de l’khantillon). Effcctucr l’application
num&iquc pour une chaîne de longueur nj = 100, et comparer le résultat avec celui obtenu à
partir de l’expression approchk donnée dans le cours.
Partie 2 - On suppose que le nombre K de sous-chaînes est, grand devant l’unit&, v6rificr
qu’il en est de mCmc dc XK. On SC propose d’étudier la variable aléatoire [ (désignée par n
précédemment,) qui est la longueur d’une chaîne constituée de K sous-chaînes de longueur l,j :
a - Calculer C l’écart type de la variable <. Rappeler le thkorème
central limite. En déduire la
distribution dc la variable aléatoire <, puis donner l’expression de la probabilité P(c < L/O) pour
que < soit plus petit que la valeur arbitraire ~0.
b - En choisissant le seuil de signification Q = 0,05, donner l’inégalit6 à laquelle obéissent, < et
K.
On donne :
0,05 = & iexp (-c) dt.
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CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
17.3. Test d’indépendance stochastique du tirage d’un échantillon
On considère lc jeu de pile ou face dura.nt lequel on note la succession des apparitions. On note
A l’apparition de face et B l’apparition de pile, la prohahiliti: de prkenter l’une des deux faces
est 0,5.
On appelle chaîne de longueur n, la suite des A et B obtenue durant l’cxpkricnce, dans l’ordre
dc leur apparition, au moyen de n tirages conskcutifs. On appelle sous-chaîne une suite constituée
uniquement dc A (ou dc B) limitk à droit? ct k gauche par un B (resp. A). Nous nous proposons
d’étudier quelques caractéristiques des chaînes et des sous-chaînes.
Partie 1. a - Montrer que la probabilité T de tirer une sous-chaîne constitube de 11, éléments
(sous-chaîne de longueur p contenant pA ou p1B) est égale à ( 1/2)IL. On bnonccra lc thi:oremc,
sur lequel se fonde le calcul.
b - Calculer rn la longueur rnoyenne et 0 l’écart type des sous-chaînes.
c - On effectue le tirage de K sous-chaînes. Donner XK la longueur rnoyenne des chaînes
contenant K sous-chaînes.
d - Dormcr la probabilité P d’obtenir au moins une sous-chaîne (parrni les K), dont la longueur
VI soit supérieure ou égale à une valeur arbitraire positive A& (on pourra éventuellement calculer
la probabilitk contra.ire). On énoncera le théorème sur lequel se fonde le calcul.
Applicat)ion numérique : K = 10; UC, = 8, calculer P.
e - On souhaite que la prohabilitk P d’obtenir au moins IIIE sous-chaîne dc longueur supbricurc
ou égale à I& soit inférieure ou égale à 0,05. Donner alors la relation cntrc A)& et K: puis donner
IIIE cxprcssion approchée de IL& en fonction de la longueur ‘n de la chaîne (011 prendra n = 2K).
f - Ce résultat peut ctrc utilisk comme test no 1 servant & vérifier l’indépcndancc stochastique
des résultats d’observation (test fondé sur la mi:diane de l’khantillon). Effcctucr l’application
num&iquc pour une chaîne de longueur nj = 100, et comparer le résultat avec celui obtenu à
partir de l’expression approchk donnée dans le cours.
Partie 2 - On suppose que le nombre K de sous-chaînes est, grand devant l’unit&, v6rificr
qu’il en est de mCmc dc XK. On SC propose d’étudier la variable aléatoire [ (désignée par n
précédemment,) qui est la longueur d’une chaîne constituée de K sous-chaînes de longueur l,j :
a - Calculer C l’écart type de la variable <. Rappeler le thkorème
central limite. En déduire la
distribution dc la variable aléatoire <, puis donner l’expression de la probabilité P(c < L/O) pour
que < soit plus petit que la valeur arbitraire ~0.
b - En choisissant le seuil de signification Q = 0,05, donner l’inégalit6 à laquelle obéissent, < et
K.
On donne :
0,05 = & iexp (-c) dt.
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