e - On tl6sirc ttudier le comportement asymptotique de la loi multinomialc quand rl tend vers
l’infini. Pour cela, il faudra transformer les composantes I$ cn wmposantcs centrées réduites.
Montrer que le changcmcnt de variables :
rCpond 5 la question car la nouvelle variable U, lie tl6pcnd pas de 71, . Montrer que la fonction
caractéristique du vecteur U = (UL, Uz, . . , U7.) tend vers la fonction
qui est la fonction caractéristiqw d‘une loi normale (dégtkkrkc). Pour y parvenir, mi eflectucra
des cl~vclopperrierits
linlit,& à l’ordre deux..
Montrw que ci=I UII& = 0.
f - Dkluire des ri:sult;tts prkédents. que la variable alkatoire
ob6it A iinr loi du x2 à (r ~ 1) degrés dc liberte.
Remarque : On rappelle un résultat 6lémentairc d’analyse : lim (1 ~ t)‘” tend vers cxp(-s)
quand n. tend vers l’infini.
14.2. Le test de Student
Ou considkc une population parcnte gaussicnnc dont la rnoycmw théorique est rr~, et, l’écart type
thkorique g. On extrait de cette population mi échantillon de 72, individus. On dkignc~ par :E la
variable caractkrisant la mcsurc sur la population et par :c, la variable associk au ae individu.
On sc propose d‘ktudicr l’kart cntrc la moyeniic dc l’échantillon (z) = A C:‘, z; et la
moyenne
théorique nb, c’est-à-tlirc la probabilité P(( (z) ~ 7111 > I), 1 btant 1111 intervalle qu’on
se fixe 5 l’ma~xc ~ ou encore on peut se fixer la probabilité P ct l’on détermine l’intervalle de
confiance 1.
Pour se fixer les idées, il s’agit d’un &hantillon de 20 individus dont on a mesuré la taille z.
On a trouv6 cxI>~rirrieritalcmr:nt
: II" = 170,% cm et (T = 3,&5 cm.
On souhaite que 1 (z) - d apparticnnc ’ 2 un intjcrvalle de confiance où il y ait, 90 chances sur
100 de trouver la valeur de (z) donni:e par 1’Cchantillon.
ire approche - Calculer 1 cn utilisant l’inégalit6 tic Bicnaym~-Tchchycheff’. Realiscr l’application numérique.
2 approche - On suppose que, comme c’est, le cas dans cet exemple, lc uombrc d’individus
n’est pas très grand, et l’on se propose tl’ktuclier la rkpartition dc la va.riablc alkrt,oire :
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l’infini. Pour cela, il faudra transformer les composantes I$ cn wmposantcs centrées réduites.
Montrer que le changcmcnt de variables :
rCpond 5 la question car la nouvelle variable U, lie tl6pcnd pas de 71, . Montrer que la fonction
caractéristique du vecteur U = (UL, Uz, . . , U7.) tend vers la fonction
qui est la fonction caractéristiqw d‘une loi normale (dégtkkrkc). Pour y parvenir, mi eflectucra
des cl~vclopperrierits
linlit,& à l’ordre deux..
Montrw que ci=I UII& = 0.
f - Dkluire des ri:sult;tts prkédents. que la variable alkatoire
ob6it A iinr loi du x2 à (r ~ 1) degrés dc liberte.
Remarque : On rappelle un résultat 6lémentairc d’analyse : lim (1 ~ t)‘” tend vers cxp(-s)
quand n. tend vers l’infini.
14.2. Le test de Student
Ou considkc une population parcnte gaussicnnc dont la rnoycmw théorique est rr~, et, l’écart type
thkorique g. On extrait de cette population mi échantillon de 72, individus. On dkignc~ par :E la
variable caractkrisant la mcsurc sur la population et par :c, la variable associk au ae individu.
On sc propose d‘ktudicr l’kart cntrc la moyeniic dc l’échantillon (z) = A C:‘, z; et la
moyenne
théorique nb, c’est-à-tlirc la probabilité P(( (z) ~ 7111 > I), 1 btant 1111 intervalle qu’on
se fixe 5 l’ma~xc ~ ou encore on peut se fixer la probabilité P ct l’on détermine l’intervalle de
confiance 1.
Pour se fixer les idées, il s’agit d’un &hantillon de 20 individus dont on a mesuré la taille z.
On a trouv6 cxI>~rirrieritalcmr:nt
: II" = 170,% cm et (T = 3,&5 cm.
On souhaite que 1 (z) - d apparticnnc ’ 2 un intjcrvalle de confiance où il y ait, 90 chances sur
100 de trouver la valeur de (z) donni:e par 1’Cchantillon.
ire approche - Calculer 1 cn utilisant l’inégalit6 tic Bicnaym~-Tchchycheff’. Realiscr l’application numérique.
2 approche - On suppose que, comme c’est, le cas dans cet exemple, lc uombrc d’individus
n’est pas très grand, et l’on se propose tl’ktuclier la rkpartition dc la va.riablc alkrt,oire :
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