MANUEL
DE
CALCUL
NUM~~RIQUEAPPLIQUL?
Soit 21,22, . . ,2,, une réalisation dc l’~ch;i.nt,illoll.
On note: par y, lc Il~oIIllm dc valeurs
z;1,22,. . , 2,, qui sppartienncnt à l’intervalle 1, avec 4 = 1, 2, . . . , T.
yq est la valeur d’une variable akatoire Yc, obtenue pour ladite ré;i.lisation. (Ici. 1~ majuscules
Xk, Yk, . . sont, des variahlcs aléatoirm tandis que les rninusculcs :ck: cyk, . sont les rcialisations
de ces variables alCatoires.)
Pour parvenir à nos fins, nous montjrerons
que xL est la somme dc carri-s dc variables
gaussienncs cerltr6s. réduites (au stris large) ct iudépendantcs ohkissant cependant à 11116 relation
linkaire.
a - On rappelle que la fonction caractCristique d’iinc variable albatoire a II din~er~sions (ou
vecteur akatoire) X = (Xl, X2, . : X,,) est l’espérance niatli6rnatiqiic clc la varial)lc corriplexc
w[.j(tlXl + t2xa + ‘. + 6,X,,)],
soit :
c$(t1, t2.. ) t,<) = iv {cXp[j(tlXl + t2x2 + ‘. . + LX,,)]}
où I!J { } est l’opkateur espi‘rance rnath6matique portant sur chacl11Ie des variables
Montrer que le rnornent du prernier ordre de la variable X est tlorm~ par :
et celui du deiixièrne ordre par :
b - 011 désigne par PA, la probabilité théorique que la variable X,, appartienne à l’intervalle Ik.
Montrer que les variables Y1 , Y2, . , Yr obéissent à une loi dc probabilitk nniltinorriiale :
P(Yl = 121, Y2 = n2,. . Y,. = n,.) =
?L!
721!n2!
. TL,.!
p?,L$” . . .p;fr
c - Nous allons obtenir, par voie directe, la fonction caractkristique de cette loi rnlllt,irlorrlialc.
Pour cela., on considère une suite de vecteurs aléatoires indépendants et dr niêrne dist,ribution
notée (Zl, Z.j, . (27) avec y = 1,2, . , ‘n.
Ces coniposantes prennent la valeur 0 ou 1, et l’on pose :
P(Z,/ = 1) = pJ
ct
“(2.4 = 0) = 1 -7l.j
Montrer que (Y,, Yz, . . , J$) = ~‘~=, (Z:, Zi, . . , 2,4), puis donner l’expression de la. fonction
caractéristique : q!q(tl, ta, . , t,,) de (Z:, Zz, , 27). En déduire, a11 IIloycIl dl1 tll6or?!IIle
concernant la fonction <:Hractérist,i
caractéristiqiic :
&q(tl, t2,. , t,,) de (K, K, . . , x.1
d - En utilisant les relations étahlics au 5 a, calculer le mornent du prernier ordre ‘rnlcl ct, le
rnornent du deuxikne ordre rnzq des composantes x1 du vecteur alfatoirc: (Y1 , Yz, : Y?).
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CALCUL
NUM~~RIQUEAPPLIQUL?
Soit 21,22, . . ,2,, une réalisation dc l’~ch;i.nt,illoll.
On note: par y, lc Il~oIIllm dc valeurs
z;1,22,. . , 2,, qui sppartienncnt à l’intervalle 1, avec 4 = 1, 2, . . . , T.
yq est la valeur d’une variable akatoire Yc, obtenue pour ladite ré;i.lisation. (Ici. 1~ majuscules
Xk, Yk, . . sont, des variahlcs aléatoirm tandis que les rninusculcs :ck: cyk, . sont les rcialisations
de ces variables alCatoires.)
Pour parvenir à nos fins, nous montjrerons
que xL est la somme dc carri-s dc variables
gaussienncs cerltr6s. réduites (au stris large) ct iudépendantcs ohkissant cependant à 11116 relation
linkaire.
a - On rappelle que la fonction caractCristique d’iinc variable albatoire a II din~er~sions (ou
vecteur akatoire) X = (Xl, X2, . : X,,) est l’espérance niatli6rnatiqiic clc la varial)lc corriplexc
w[.j(tlXl + t2xa + ‘. + 6,X,,)],
soit :
c$(t1, t2.. ) t,<) = iv {cXp[j(tlXl + t2x2 + ‘. . + LX,,)]}
où I!J { } est l’opkateur espi‘rance rnath6matique portant sur chacl11Ie des variables
Montrer que le rnornent du prernier ordre de la variable X est tlorm~ par :
et celui du deiixièrne ordre par :
b - 011 désigne par PA, la probabilité théorique que la variable X,, appartienne à l’intervalle Ik.
Montrer que les variables Y1 , Y2, . , Yr obéissent à une loi dc probabilitk nniltinorriiale :
P(Yl = 121, Y2 = n2,. . Y,. = n,.) =
?L!
721!n2!
. TL,.!
p?,L$” . . .p;fr
c - Nous allons obtenir, par voie directe, la fonction caractkristique de cette loi rnlllt,irlorrlialc.
Pour cela., on considère une suite de vecteurs aléatoires indépendants et dr niêrne dist,ribution
notée (Zl, Z.j, . (27) avec y = 1,2, . , ‘n.
Ces coniposantes prennent la valeur 0 ou 1, et l’on pose :
P(Z,/ = 1) = pJ
ct
“(2.4 = 0) = 1 -7l.j
Montrer que (Y,, Yz, . . , J$) = ~‘~=, (Z:, Zi, . . , 2,4), puis donner l’expression de la. fonction
caractéristique : q!q(tl, ta, . , t,,) de (Z:, Zz, , 27). En déduire, a11 IIloycIl dl1 tll6or?!IIle
concernant la fonction <:Hractérist,i
caractéristiqiic :
&q(tl, t2,. , t,,) de (K, K, . . , x.1
d - En utilisant les relations étahlics au 5 a, calculer le mornent du prernier ordre ‘rnlcl ct, le
rnornent du deuxikne ordre rnzq des composantes x1 du vecteur alfatoirc: (Y1 , Yz, : Y?).
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