ANNEXE
N.
P ROBLÈMES
ETEXERCICES
b - Les variables indépendantes sont toujours gaussiennes mais ne sont plus centrkcs réduites.
On désigne par rn,l et rn2 les moyennes respectives et par 01 ct CT~ les écarts quadrat,iques moyens.
Donner la fonction de distribution de r/ = El + <2.
c - Gknéraliser le calcul du C ; b en considkrant la variable
puis cn déduire le théorème d’addition des rnoyennes et le théorème d’addition des variances
(écart type klevé au carré).
d - On considère une variable aléatoire < à distribution rectangulaire. c’est-à-dire uniformément
répartie sur l’intervalle (-0.5 ; O)S). D onner la fonction caractérist,ique Q(t) de cette variable
aléatoire, puis la fonction caractéristique de la variable aléatoire E/n. ct enfin la fonction
caractérist,ique Q(t) de la variable aléatoire :
où les & sont des variables aléatoires indépendantes à distribution rectangulaire uniformkment
réparties sur l’intervalle (-0,5 ; 0,5).
Au moyen d’un développement limiti: au deuxième ordre dc loge P(t), montrer que la fonction
caractéristique tend vers une gaussienne quand n tend vers l’infini. En déduire la loi de
distribution dc IL quand n devient grand devant l’unité.
Déduire dc cet exercice le comportement asymptotique de la fonction :
f(z) = (F)”
Effectuer deux prograrnmes qui permettent la vérification expérimentale de conclusion obtenue. L’un effectuera les auto-convolutions successives de la fonction de distribution, l’autre le
calcul direct de la fonction caractéristique.
À partir de quelle valeur no de n peut-on admettre l’approximation asympt~otique?
14. La loi du x2 et la loi de Student
14.1. Le test de Pearson
On désire montrer que le paramètre de Pcarson
7’ (Y - np,)2
x2 = c
pl
nPq
obéit, à une loi du x2 à (r - 1) degrés de liberté.
On considère une variable aléatoire X dont on se donne u11 échantillon constitué dc n. ékments
notés X1, X2,. , X,.
On réalise une partition de l’axe réel en T intervalles notés 11: I2, . 1,. et l’on désigne
parn,p2,..., p, les probabilités théoriques que X appartienne respectivement aux intervalles
11,12, . . , I,. (Rkalisation d’un histograrnme.)
481
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P ROBLÈMES
ETEXERCICES
b - Les variables indépendantes sont toujours gaussiennes mais ne sont plus centrkcs réduites.
On désigne par rn,l et rn2 les moyennes respectives et par 01 ct CT~ les écarts quadrat,iques moyens.
Donner la fonction de distribution de r/ = El + <2.
c - Gknéraliser le calcul du C ; b en considkrant la variable
puis cn déduire le théorème d’addition des rnoyennes et le théorème d’addition des variances
(écart type klevé au carré).
d - On considère une variable aléatoire < à distribution rectangulaire. c’est-à-dire uniformément
répartie sur l’intervalle (-0.5 ; O)S). D onner la fonction caractérist,ique Q(t) de cette variable
aléatoire, puis la fonction caractéristique de la variable aléatoire E/n. ct enfin la fonction
caractérist,ique Q(t) de la variable aléatoire :
où les & sont des variables aléatoires indépendantes à distribution rectangulaire uniformkment
réparties sur l’intervalle (-0,5 ; 0,5).
Au moyen d’un développement limiti: au deuxième ordre dc loge P(t), montrer que la fonction
caractéristique tend vers une gaussienne quand n tend vers l’infini. En déduire la loi de
distribution dc IL quand n devient grand devant l’unité.
Déduire dc cet exercice le comportement asymptotique de la fonction :
f(z) = (F)”
Effectuer deux prograrnmes qui permettent la vérification expérimentale de conclusion obtenue. L’un effectuera les auto-convolutions successives de la fonction de distribution, l’autre le
calcul direct de la fonction caractéristique.
À partir de quelle valeur no de n peut-on admettre l’approximation asympt~otique?
14. La loi du x2 et la loi de Student
14.1. Le test de Pearson
On désire montrer que le paramètre de Pcarson
7’ (Y - np,)2
x2 = c
pl
nPq
obéit, à une loi du x2 à (r - 1) degrés de liberté.
On considère une variable aléatoire X dont on se donne u11 échantillon constitué dc n. ékments
notés X1, X2,. , X,.
On réalise une partition de l’axe réel en T intervalles notés 11: I2, . 1,. et l’on désigne
parn,p2,..., p, les probabilités théoriques que X appartienne respectivement aux intervalles
11,12, . . , I,. (Rkalisation d’un histograrnme.)
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