hfA.WJEL DE CALCUL NUMÉRIQUE APPLIQUÉ
12.11. L’inégalité de Kolmogorov (1903-1987)
Soit X une variable aléatoire continue de moyenne nulle E(X) = 0, d’écart quadratiquc cr2 et
de fonction dc dist,ribution f(z). On considère un nombre arbitraire t positif.
a - Rappeler la demonstration de l’inégaliti: de Bienaymé-T(:hehycheff’ :
où F’ désigne la probabilité, et l’on prkisera le domaine de validité de t.
b - À présent, on suppose que ]X/ a une borne supérieure désignk par I3. Montrer que :
expression dans laquelle a est compris entre 0 et B. En dcduire que
wy > a) 2
E(X2) - 2
B2
Cette expression s’appelle inégalité de Kolrnogorov.
12.12. Loi quasi normale
a - On considère une variable aleatoirc Y de moyenne nulle E(Y) = 0, d’écart quadratique
moyen E(Y”) = g2 et obéissant à une distribution gaussienne. R.appelcr, au besoin en les
démontrant, les expressions des moments centrés d’ordre trois et quatre.
b - Par définition, nous dirons qu’une va,riable aléatoire X obeit à une distribution quasi
normale lorsque :
E(X:‘) # 0 et 23(X4) = 3[E(X2)]?
On se propose de calculer les paramètres a et b de la loi :
de telle façon que f(z) soit une loi quasi normale. On montrera que f(z) est bien urlc densité
de probabilité, puis on calculera E(X), E(X’), E(X”) ct E(X4). Enfin, on déterminera n , et b.
Une fois les conditions établies, donner l’écart quadratique moyen a2 dc la loi normale dont
les moments deux et quatre coïncident avec ceux de la loi quasi normale envisagce.
13. La fonction caractéristique
13.1. (%)’ tend vers une gaussienne quand n croît positivement
a - Soient deux variables aléatoires indépendantes
fon&on caractcristique de la variable rl =
12.11. L’inégalité de Kolmogorov (1903-1987)
Soit X une variable aléatoire continue de moyenne nulle E(X) = 0, d’écart quadratiquc cr2 et
de fonction dc dist,ribution f(z). On considère un nombre arbitraire t positif.
a - Rappeler la demonstration de l’inégaliti: de Bienaymé-T(:hehycheff’ :
où F’ désigne la probabilité, et l’on prkisera le domaine de validité de t.
b - À présent, on suppose que ]X/ a une borne supérieure désignk par I3. Montrer que :
expression dans laquelle a est compris entre 0 et B. En dcduire que
wy > a) 2
E(X2) - 2
B2
Cette expression s’appelle inégalité de Kolrnogorov.
12.12. Loi quasi normale
a - On considère une variable aleatoirc Y de moyenne nulle E(Y) = 0, d’écart quadratique
moyen E(Y”) = g2 et obéissant à une distribution gaussienne. R.appelcr, au besoin en les
démontrant, les expressions des moments centrés d’ordre trois et quatre.
b - Par définition, nous dirons qu’une va,riable aléatoire X obeit à une distribution quasi
normale lorsque :
E(X:‘) # 0 et 23(X4) = 3[E(X2)]?
On se propose de calculer les paramètres a et b de la loi :
de telle façon que f(z) soit une loi quasi normale. On montrera que f(z) est bien urlc densité
de probabilité, puis on calculera E(X), E(X’), E(X”) ct E(X4). Enfin, on déterminera n , et b.
Une fois les conditions établies, donner l’écart quadratique moyen a2 dc la loi normale dont
les moments deux et quatre coïncident avec ceux de la loi quasi normale envisagce.
13. La fonction caractéristique
13.1. (%)’ tend vers une gaussienne quand n croît positivement
a - Soient deux variables aléatoires indépendantes
fon&on caractcristique de la variable rl =