ANNEXE H. P ROBLÈMES ET EXERCICISS
On ctésignc par A 1’évt:nrment
< > 7, B l’h+nement < - T < t.
À l’aide du thtorèrnc des probabilités co~nposées, donnc~r l’expression dc P(A L3) ; en d6duirc
l’cxprcssion de 4(t) en fbrlction tic P, A et I3. Montrcr que l’h+nenlerlt A. B pmtj aussi s’écrire :
r
Donner à pr6smt l’c,xpression de 4(t) CII fonction de F. t ct, 7.
Rcmj~l;wer
F par l’expression dmlée au 5 1, ct montrer yuc F(t) = 4(t)
12.10. Durée de vie d’un système. Loi de Weibull (1887-1979). Fiabilité
La dur& dc vie dhn systèrnr pliysicjw est inesiiréc par la va,ria,lde aléatoire <. On se j>roposc
tl’ktwlkr la rkjmrtit,iorl F(t) dc ccttc, variad~le~ soit, : F(t) = P(< < t).
On tlésignc par X(t) 1 c c:orfficirnt~ des cl6faillanws eii fonction ~111 temps t qw l’on dc%init de
la fac;oii suivaritc :
X(t) =
n(t) ~ n(t + At)
at
n(t)
'
n(t) ft,ant lc nombre de syst,èrries ayant vki1 jusqu’à l’instant t, At étant un intcrvallc de temps
jwtit (infiriiirierit~ petit du prcmicr ordre).
a - Montrer que F(t) 1 xiit SC: mettre sous la fornw :
'n(t)
F(t) = 1 ~ n où n = n(O).
b - Donrlcr 1’Cqnation cliffhcnti~lle du prcnkr ordre ii. laqucllc obht la r&wtition F(t) cn
fmhiori de X(t). 0 ii cxploitcra lc fait, que l’ori pciit, bcrircx :
X(t) =
n(l) ~ ,n(O) + n(0) - n(t + at)
At n(t)
puis qiic At rst, iii1 infîriirricnt petit dii premier ordre.
c - En intbgrant~ 1’6quation diff6relltirllt~ ol~tcnuc:, doimrr l’c~xprc3sion cl <> F(t) mi fonction de
X(t).
d - Uricl classe int,kwss;r,nte de coefficients dr défaillance A(t) est, doriri& par l’cxprcssiori :
X(t) = A&~*-’
avc<. A(] > 0 rt 0 > 0,
donner alors 1’expmGon dc F(t) ahsi que cc~llc dc f(t).
e - Calciilcr la rrioyeririe a clc < ainsi que sa variancc~ a2.
f - Ccttc loi est wiinw sous lc nom de loi dt Wddl et, trmvc son rrnploi mi t~h6oric~ de la
fiabilitb. La dmsit6 dc prolml~ilitk f(t) ( ou la r@partitiori) btahlie à la qiicstion 11 du pri-c~Cdmt
prol~lhc cd un cas particulit~r (1~ la loi de Wcilmll, donner dors la valmr de (1 qui corrcqmid
X cc cas pa’ticiili~r.
N.B. - Or1 tlonnc :
oc
.
ryz+l) = .i
1x1 exp-- PI) d71.
479
On ctésignc par A 1’évt:nrment
< > 7, B l’h+nement < - T < t.
À l’aide du thtorèrnc des probabilités co~nposées, donnc~r l’expression dc P(A L3) ; en d6duirc
l’cxprcssion de 4(t) en fbrlction tic P, A et I3. Montrcr que l’h+nenlerlt A. B pmtj aussi s’écrire :
r
Donner à pr6smt l’c,xpression de 4(t) CII fonction de F. t ct, 7.
Rcmj~l;wer
F par l’expression dmlée au 5 1, ct montrer yuc F(t) = 4(t)
12.10. Durée de vie d’un système. Loi de Weibull (1887-1979). Fiabilité
La dur& dc vie dhn systèrnr pliysicjw est inesiiréc par la va,ria,lde aléatoire <. On se j>roposc
tl’ktwlkr la rkjmrtit,iorl F(t) dc ccttc, variad~le~ soit, : F(t) = P(< < t).
On tlésignc par X(t) 1 c c:orfficirnt~ des cl6faillanws eii fonction ~111 temps t qw l’on dc%init de
la fac;oii suivaritc :
X(t) =
n(t) ~ n(t + At)
at
n(t)
'
n(t) ft,ant lc nombre de syst,èrries ayant vki1 jusqu’à l’instant t, At étant un intcrvallc de temps
jwtit (infiriiirierit~ petit du prcmicr ordre).
a - Montrer que F(t) 1 xiit SC: mettre sous la fornw :
'n(t)
F(t) = 1 ~ n où n = n(O).
b - Donrlcr 1’Cqnation cliffhcnti~lle du prcnkr ordre ii. laqucllc obht la r&wtition F(t) cn
fmhiori de X(t). 0 ii cxploitcra lc fait, que l’ori pciit, bcrircx :
X(t) =
n(l) ~ ,n(O) + n(0) - n(t + at)
At n(t)
puis qiic At rst, iii1 infîriirricnt petit dii premier ordre.
c - En intbgrant~ 1’6quation diff6relltirllt~ ol~tcnuc:, doimrr l’c~xprc3sion cl <> F(t) mi fonction de
X(t).
d - Uricl classe int,kwss;r,nte de coefficients dr défaillance A(t) est, doriri& par l’cxprcssiori :
X(t) = A&~*-’
avc<. A(] > 0 rt 0 > 0,
donner alors 1’expmGon dc F(t) ahsi que cc~llc dc f(t).
e - Calciilcr la rrioyeririe a clc < ainsi que sa variancc~ a2.
f - Ccttc loi est wiinw sous lc nom de loi dt Wddl et, trmvc son rrnploi mi t~h6oric~ de la
fiabilitb. La dmsit6 dc prolml~ilitk f(t) ( ou la r@partitiori) btahlie à la qiicstion 11 du pri-c~Cdmt
prol~lhc cd un cas particulit~r (1~ la loi de Wcilmll, donner dors la valmr de (1 qui corrcqmid
X cc cas pa’ticiili~r.
N.B. - Or1 tlonnc :
oc
.
ryz+l) = .i
1x1 exp-- PI) d71.
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