ANNEXE H. PROBLÈMES ET EXERCICES
c - Donner l’expression de f(k, r,p).
d - Plus généralement, pour 1111 réel T > 0 fixé et pour 0 < p < 1, la séquence {f(k, rT p)} avec
k = 0, 1,2, . . est appelée distribution binomiale négative.
On montre que pr (1 - 4t) pT est la fonction géneratrice des moments non centrés. À l’aide de
cette fonction génératrice, calculer ml la moyenne de la variable aléatoire entier? p qui suit la
distribution f(k, r;~), puis rn2 le moment du deuxième ordre. En dcduire la variante c2.
e - Sur six pommiers d’un verger tirés au hasard, on a prélevé sur chacun 25 feuilles toujours
au hasard, puis, on a dénornbré les rnites rouges sur chacune des feuilles. Les résultats obtenus
sont présentés dans le tableau H.l d’après C.I. Bliss, Fitting the negataw bin,omiul distribution
to bioloyical data, Biornetrics, juin 1953 p. 176.
Tableau H.l.
Nombre de mites
Nombre de feuilles
par feuille
observées
0
70
1
35
2
17
3
10
4
9
5
3
6
2
7
1
8 et plus
0
Calculer la moyenne m, et l’écart type 0: de cette distribution expérimentale.
f - Pour rendre compte de cette distribution expérimentale, on envisage l’hypothèse d’une
distribution de Poisson de paramètre A. Donner la valeur de A. Calculer les diffcrents Pk puis le
x2 correspondant. Peut-on retenir l’hypothèse d’une distribution de Poisson‘?
g - On fait l’hypothèse que la loi expérimentale est la loi binomiale nkgative. Calculer T, p et
4 prkédemment définis. Puis calculer la probabilité théorique que le nombre de mites sur les
feuilles soit m = 0, 1,2, . , 7.
h - Calculer le xL correspondant. Peut-on retenir cette dernière hypot,hèse?
Quelques résultats utiles - Coefficient du binôme, n est un entier positif :
1
C*l = C;i-” =
lx.
n
p!(n
-p)!)
= P
0
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