MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUE
Quelques résultats utiles - Coefficient du binôme, n est un entier positif :
(1 + z)” = 1 + nIc + ‘. +
n(n ~ 1) t.. (71- k + 1)
k!
+ . . + 27~ = 2 cj$”
k=O
(y = crr-p =
n!
n
n
n
p!(n
-p)!) = p
0
Coefficient du binôme gkkralisk, cv est un réel quelconque positif :
(1+ 2)” = 1+ cY2 +. ‘. +
~(c-l)..+-k+l)~,+,
k!
(1 ~ z)-(y
= 1 + ayn: + . + da + l) -;‘* + k ~ 1) y+ +
= 2 c;+,J? = 2 (y) (-l)%“.
k=O
k=O
,..=
~
E C!,,(-x)”
k=O
La fonction factorielle :
cc
r(x + 1) = 2! =
J’
7Lz exp(-u) du.
0
quand nz est très grand devant l’unit&
12.8. La loi binomiale négative (reprise et applications)
Une urne contient P boules blanches et Q boules noires (P et Q strictement positifs). On effectue
dans cette urne des tirages non exhaustifs, c’est-à-dire que l’on procade à la remise dans l’urne
de la boule t,irke avant d’effectuer un autre tirage. On note p la probabilité de tirer une boule
blanche et 4 celle de tirer une boule noire (p + Q = 1). On appelle succès lc tirage d’une boule
blanche et échec le tirage d’une boule noire.
On s’intéresse aux suites de n tirages notées S;i telles qu’un 7~’ tirage fournisse le F succès qui
clôt la suite, T 6tant un nombre entier positif fixé à l’avance. Pour cela. on poursuit l’expérience
aussi loin qu’il le faut. ré étant aussi grand que l’on veut. Les suites Si se tcrmincnt toutes par
un succès qui est le Y’. Comme n 2 T, il est préférable d’écrire n = T + k avec k = 0, 1,2,. .
a - On note f(k: ~,p) la probabiliti: que le re succès ait lieu au tirage T + k. Au cours des T + k
t,iragcs, montrer que la probabilité d’avoir tiré exactement k échecs qui précCdent
le tirage du
re succès est aussi f(k, r,p).
b - On appelle événement A la réalisation du Te succès au tirage T + k, événement B la
réalisation de k échecs au tirage T + k ~ 1, et enfin 1’CvSnement
C la réalisation d’un succès
au tirage T -+ k. Écrire la relation entre les événements A, B et C. Calculer la probabilité de la
réalisation de 1’CvCnement B en fonction de T, k,p et 4.
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