3. LES DÉVELOPPEMENTS ASYMPTOTIQUES
Rapport de deux développements asymptotiques - Si deux fonctions f(x) et g(x) admettent
chacune un développement asymptotique alors la fonction R(z) = f(x)/g(x) a pour développement asymptotique :
à condition toutefois que be soit différent de zéro.
- Si une fonction f(x) admet un développement asymptotique et si une fonction @[j(x)]
possède un développement en série entière convergent dans le cercle de rayon If] < p, alors le
développement asymptotique de 0 s’obtient en portant le développement asymptotique de f
dans le développement en série entière de 0 .
3. Développement asymptotique de quelques fonctions spéciales
3.1. Sinus intégral
Si(x) = x !!$ &
s
0
3.2. Cosinus intégral
Ci ( x) = - m! ! ! ! $) &
s 2
3.3. Exponentielle intégrale
I(x) =
m exp(x - t)
s
t
dt pour x > 0
z
I(x) = c<-l)n&. . . + (-l)n+l(n + l)!
J O3 dz - t) dt
p+2
n=O
5
3.4. Les fonctions erf(x) et cerf(x)
z
erf(x) = L s
&O
exp( -t2) dt
cerf(x) = 1 - erf(x)
= exp(-x2)
(
1.3
l-&+-1.3.5
Xfi
22x4
-+
23x6
. . . + (-1)” l. 3;S122n-2
. . . (2n - 3) . . .
1
47