MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
Toutes les fonctions f(x) n’admettent pas nécessairement un développement asymptotique,
cependant, il se peut qu’il existe une fonction Q(Z) telle que la fonction :
cc
admette un développement asymptotique c 2. Alors on peut écrire :
j=o
f(x) = C#(x) 2 3
j=o
Intégration d’un développement asymptotique - Supposons que la fonction f(x) admette un
développement asymptotique que nous écrirons :
ao
+
?A
+
5
+
$
+
. . +
$
+
.
X
avec ao # 0 ; alors on peut intégrer le développement sur l’intervalle x < t 5 CC pour les grandes
valeurs de 5. Nous obtenons donc :
On comprendra immédiatement la nécessité de retrancher les deux premiers termes qui
conduiraient inévitablement à des divergences.
Différentiation d’un développement asymptotique - La différentiation des séries en général
est une opération délicate et il faut des conditions assez fortes sur les fonctions développées pour
qu’il y ait égalité entre la dérivée de f(x) et la dérivée du développement asymptotique. Pour
commencer, il faut que f(x) admette une dérivée f’(x), de plus, il faut que f’(x) soit continue
et admette un développement asymptotique ; alors l’opération de dérivation devient légitime.
Combinaison linéaire de développements asymptotiques - Si deux fonctions f(x) et g(x)
admettent chacune un développement asymptotique que nous écrirons sous la forme :
f(x) = F $ et
n=O
g(x) = 2 f,
n=O
alors la fonction Q(x) = Xf(x)+pg( )
x , où X et p sont deux nombres, admet pour développement
asymptotique :
Q(x) = 2 X”kx;fibk .
k=O
Produit de deux développements asymptotiques - Si deux fonctions f(x) et g(x) admettent
chacune un développement asymptotique alors la fonction Q(x) = f(x). g(x) a pour développement asymptotique :
QI(x) = 2 $ 2 a&-k.
n=O k=O
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