3. LES DÉVELOPPEMENTS ASYMPTOTIQUES
Rappelons que cette erreur est liée strictement à la troncature des deux séries; lors de
l’exécution des calculs, il faudra ajouter les erreurs effectuées sur chacun des termes constituant
les sommes.
Il suffit donc de calculer la somme des cinq premiers termes des deux séries pour connaître
Ci(l0) avec une précision supérieure à 0,36 10V4. La somme Szk(lO) donne : S2k(lO) =
-0,454 81 10V2 et l’on peut donc voir que l’algorithme proposé permet d’obtenir les trois premiers
chiffres significatifs exacts. En définitive :
Ci(l0) = 4,548 10-2 310,003 6 10-2.
Pour la petite histoire, il semble que ce soit Stokes G.G. (181991903) qui ait pressenti le
premier l’intérêt d’une telle procédure, et c’est à Poincaré H. (185441912) que revient le mérite
d’avoir développé la théorie (1886), essentiellement dans le but de résoudre quelques équations
différentielles apparaissant en mécanique céleste et en mécanique analytique.
Ajoutons que ces développements servent principalement à approcher les fonctions dites
« spéciales B pour des arguments dont le module est élevé ~ disons de plusieurs unités ou
dizaines d’unités.
Les travaux de Poincaré permettent d’apporter quelques précisions sur la notion de développement asymptotique et ce sont ses propres idées que nous allons rappeler succinctement.
Définition
On dira que la série Sri(z) représente un développement asymptotique de la fonction f(z)
au voisinage de l’infini si, sur un certain intervalle 1]a, oo[ auquel appartient z, les conditions
suivantes sont remplies :
En posant Rn(z) = X~(~(X) - &(z)), on doit avoir :
lim &(z) = 0 quel que soit 72 même lorsque
2+03
lim Rn(z) > 00 quel que soit I I : fixé.
n+cL!
Il en résulte que l’on pourra toujours prendre 11: suffisamment grand de telle sorte que l’inégalité
suivante soit vérifiée :
où E est un infiniment petit positif fixé à l’avance.
Pour utiliser au mieux le développement asymptotique, on choisit n de telle façon que l’erreur
commise sur l’approximation soit la plus petite possible.
2. Quelques propriétés utiles des développements asymptotiques
Unicité du développement asymptotique - Quand une fonction f(z) admet un développement asymptotique, alors ce développement est unique.
L’affirmation inverse est fausse car deux fonctions différentes peuvent avoir le même développement asymptotique. En effet, supposons que les deux fonctions diffèrent de exp(-crz) avec
la partie réelle de hi positive, alors, les coefficients du développement asymptotique de cette
quantité sont identiquement nuls.
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Rappelons que cette erreur est liée strictement à la troncature des deux séries; lors de
l’exécution des calculs, il faudra ajouter les erreurs effectuées sur chacun des termes constituant
les sommes.
Il suffit donc de calculer la somme des cinq premiers termes des deux séries pour connaître
Ci(l0) avec une précision supérieure à 0,36 10V4. La somme Szk(lO) donne : S2k(lO) =
-0,454 81 10V2 et l’on peut donc voir que l’algorithme proposé permet d’obtenir les trois premiers
chiffres significatifs exacts. En définitive :
Ci(l0) = 4,548 10-2 310,003 6 10-2.
Pour la petite histoire, il semble que ce soit Stokes G.G. (181991903) qui ait pressenti le
premier l’intérêt d’une telle procédure, et c’est à Poincaré H. (185441912) que revient le mérite
d’avoir développé la théorie (1886), essentiellement dans le but de résoudre quelques équations
différentielles apparaissant en mécanique céleste et en mécanique analytique.
Ajoutons que ces développements servent principalement à approcher les fonctions dites
« spéciales B pour des arguments dont le module est élevé ~ disons de plusieurs unités ou
dizaines d’unités.
Les travaux de Poincaré permettent d’apporter quelques précisions sur la notion de développement asymptotique et ce sont ses propres idées que nous allons rappeler succinctement.
Définition
On dira que la série Sri(z) représente un développement asymptotique de la fonction f(z)
au voisinage de l’infini si, sur un certain intervalle 1]a, oo[ auquel appartient z, les conditions
suivantes sont remplies :
En posant Rn(z) = X~(~(X) - &(z)), on doit avoir :
lim &(z) = 0 quel que soit 72 même lorsque
2+03
lim Rn(z) > 00 quel que soit I I : fixé.
n+cL!
Il en résulte que l’on pourra toujours prendre 11: suffisamment grand de telle sorte que l’inégalité
suivante soit vérifiée :
où E est un infiniment petit positif fixé à l’avance.
Pour utiliser au mieux le développement asymptotique, on choisit n de telle façon que l’erreur
commise sur l’approximation soit la plus petite possible.
2. Quelques propriétés utiles des développements asymptotiques
Unicité du développement asymptotique - Quand une fonction f(z) admet un développement asymptotique, alors ce développement est unique.
L’affirmation inverse est fausse car deux fonctions différentes peuvent avoir le même développement asymptotique. En effet, supposons que les deux fonctions diffèrent de exp(-crz) avec
la partie réelle de hi positive, alors, les coefficients du développement asymptotique de cette
quantité sont identiquement nuls.
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