MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
Ce développement est divergent comme le montre le critère de d’Alembert. Pour la série ayant
sin(z)/z en facteur, on obtient :
(2n+2)!22” ~ $y
(2n)!L?+f2
X2
quel que soit x. On peut trouver n suffisamment grand pour que 4n2 > x2 ce qui montre le
caractère divergent de la série. On a le même résultat avec la seconde série ayant COS(~)/~
comme coefficient, mais une seule série suffit... pour montrer la divergence. On aurait pu dire
aussi que le terme général de chacune des séries ne tend pas vers zéro quand n tend vers l’infini,
ce qui suffit à assurer la divergence.
Désignons par Szk(x) la somme constituée des deux séries qui sont tronquées chacune à
l’ordre k :
il est alors facile de calculer l’erreur liée à l’approximation :
E2kC5) = Ici(x) - S2k(X)I
que l’on peut écrire encore :
l.&(x) = (2k + l)!
O o cas(t )
J
~ dt 5 (2k+l)!
O3 dt
J
~
t2”+2
t2k+2
z
z
On s’aperçoit que I&(z) est une fonction croissante en k et décroissante en x. Pour connaître
l’ordre k du développement pour lequel l’erreur est minimum, il suffit d’écrire que :
E2k(~) = E2(k+l)(x)
(ou encore = Ez(~-I)(x)).
On en déduit immédiatement, dans le cadre de notre exemple particulier, que :
(2k)!= (2k + 2)!
x2k+l
x2k+3
d’où l’on tire : x zz 2k + 1.
Donc, pour x fixé, il suffit de calculer 2k termes de la série asymptotique en choisissant k
donné par l’expression :
lC=
x-l
---, soit kzz.
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Considérons un exemple numérique en supposant que x = 10, on en déduit immédiatement
que k = 5. On peut alors évaluer :
Elo(x) = $ = 0,36 10F4.
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