11. Éléments de calcul des probabilités
11.1. L’ordre statistique
crjr4 est la plus pctitc clcs valeurs 1
strictes en probabilitk car F(z) est continur.
On dispose de 71 urnes nuni~rotCes
de 1 à 71, et l’ou place: cha~unc des valeurs :zk’ tlms l’urur
(II)
k: corrcspondaut au rarlg k attribue par lc classement. zk est uw wrriablc alkdoirc.
On cffcctuc le tiragr des coniposantcs d’un nombre de vecteurs V aussi g,r;rnd que l’on veut.
toutes les coniposautes de tous 1~s vcct~curs Ctant des variables &atoires iri<~i:r>c,iid;Liitc,s tic
nlêirie rCpartition F(.r). Pour chaqiw vcctcwr V on cffrctuc le classemeut puis 1~ rmiplissagc~ des
71 urnes. On se propow d’6tudicr la. statistique des élimcnts conttnus dans chacune &Y+ urnes,
ct plus prkiséineiit lrur distributioii.
a - On désigne par IV,, (CII) 1 c nombre de coiriposmtrs
de répartition des variables zk ,pour wla on cxplicitc les intervalles tk d&iit,ioii dc .I; pour
les diverses wrlrurs discrCt,cs susceptibles d’atre prises par S,, (XI). On iiotc: qiw. pour 31 fixé,
7j = S,,(z) mt une variable aléatoire car si les valeurs prises par S,,(X) sont ~~oiiniics. 011 rie sait,
pas pour quelles valeurs dc n r ces valeurs sont prises. S,,(z) s’appelle r6partit,ion mipirique des
xp.
b - Donncr~ cn fonction de F(z), l’cxprcssion dc la probabilité P(& < x). c’est,-à-dire la
probabilité que la composante & soit iufkieure au nornbrc a: kmqué au 5 a. Puis rnontrcr que
P(& < z) = constante = p. quelle que soit la. coniposant,c~ d’intlicc lî (k = 1, 2; . . 71,).
c - 011 se propose de calculer la probabilité que S,,(T) prcnnc l’une des valeurs possibles. soit
,/n/u, donner son expression en fonction dc F(X) (c)u p) : 1 mur cela. on reniarquc qu’il doit y
avoir m coinposantes du vcctcur V qui sont inf~rieurrs 5 z (6vtnt,uellenlrnt une @.$c A X) ct
(n ~ ~rrt,) qui sont sup~ricurcs à .z’. 011 justifiera l’usitge dc la loi birioinialc.
(il)
.
d - À prCscrit, on s’intéresse à la distribut,ion tic la variable aléatoire: .r;,j ( ’ (3,-kdire de tous
les E,, (de chaqw vcctcur V) tombés dans l’urne j. On désigne par 9:“) (CI;) la probabilit6 que
T(“’ soit inf@rieur à un noinbre 2, c’mt-à-dire p(z:‘“) < CT).
L’événement I~(X,?’ < z) a lieu quand au nioins j coinposantcs dc V sont, inf6ricurrs à 5.
Montrer que l’k&wment E (S,, ( ~ )
E(x:")
.ï n’est pas plus petit, que 6) est ~quivalmt,
5 l’~v~ncinent~
< XT). En tfkluire que Q>, ‘“‘(x) = c:;,_j P[S,,(x) = y. puis tlonncr l’c~xpwssioii de
Qi”’ (3~) cn fonction de F( 3~).
e - Montrer que :
F(z)
s
FI(1 ~ t)‘j+.’ dt.
0
471
11.1. L’ordre statistique
crjr4 est la plus pctitc clcs valeurs 1
strictes en probabilitk car F(z) est continur.
On dispose de 71 urnes nuni~rotCes
de 1 à 71, et l’ou place: cha~unc des valeurs :zk’ tlms l’urur
(II)
k: corrcspondaut au rarlg k attribue par lc classement. zk est uw wrriablc alkdoirc.
On cffcctuc le tiragr des coniposantcs d’un nombre de vecteurs V aussi g,r;rnd que l’on veut.
toutes les coniposautes de tous 1~s vcct~curs Ctant des variables &atoires iri<~i:r>c,iid;Liitc,s tic
nlêirie rCpartition F(.r). Pour chaqiw vcctcwr V on cffrctuc le classemeut puis 1~ rmiplissagc~ des
71 urnes. On se propow d’6tudicr la. statistique des élimcnts conttnus dans chacune &Y+ urnes,
ct plus prkiséineiit lrur distributioii.
a - On désigne par IV,, (CII) 1 c nombre de coiriposmtrs
de répartition des variables zk ,pour wla on cxplicitc les intervalles tk d&iit,ioii dc .I; pour
les diverses wrlrurs discrCt,cs susceptibles d’atre prises par S,, (XI). On iiotc: qiw. pour 31 fixé,
7j = S,,(z) mt une variable aléatoire car si les valeurs prises par S,,(X) sont ~~oiiniics. 011 rie sait,
pas pour quelles valeurs dc n r ces valeurs sont prises. S,,(z) s’appelle r6partit,ion mipirique des
xp.
b - Donncr~ cn fonction de F(z), l’cxprcssion dc la probabilité P(& < x). c’est,-à-dire la
probabilité que la composante & soit iufkieure au nornbrc a: kmqué au 5 a. Puis rnontrcr que
P(& < z) = constante = p. quelle que soit la. coniposant,c~ d’intlicc lî (k = 1, 2; . . 71,).
c - 011 se propose de calculer la probabilité que S,,(T) prcnnc l’une des valeurs possibles. soit
,/n/u, donner son expression en fonction dc F(X) (c)u p) : 1 mur cela. on reniarquc qu’il doit y
avoir m coinposantes du vcctcur V qui sont inf~rieurrs 5 z (6vtnt,uellenlrnt une @.$c A X) ct
(n ~ ~rrt,) qui sont sup~ricurcs à .z’. 011 justifiera l’usitge dc la loi birioinialc.
(il)
.
d - À prCscrit, on s’intéresse à la distribut,ion tic la variable aléatoire: .r;,j ( ’ (3,-kdire de tous
les E,, (de chaqw vcctcur V) tombés dans l’urne j. On désigne par 9:“) (CI;) la probabilit6 que
T(“’ soit inf@rieur à un noinbre 2, c’mt-à-dire p(z:‘“) < CT).
L’événement I~(X,?’ < z) a lieu quand au nioins j coinposantcs dc V sont, inf6ricurrs à 5.
Montrer que l’k&wment E (S,, ( ~ )
E(x:")
.ï n’est pas plus petit, que 6) est ~quivalmt,
5 l’~v~ncinent~
< XT). En tfkluire que Q>, ‘“‘(x) = c:;,_j P[S,,(x) = y. puis tlonncr l’c~xpwssioii de
Qi”’ (3~) cn fonction de F( 3~).
e - Montrer que :
F(z)
s
FI(1 ~ t)‘j+.’ dt.
0
471