MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
a - Montrer que la solution formelle peut, se met,tre sous la forme :
:y(t) = O,l[l + exp(-50t)].
(H.12)
D@terminer
l’intervalle de variation de y(t) quand t apparticntj & (0 ; ZQ). puis reprkenter
graphiyucmcnt cet,te solution.
b - Calculer par la méthode d’Euler les valeurs numériques y( 1) ct, y(2) (rcspcctiwment, pour
les valeurs ti = 1 et tZ = 2) avec un pas d’intbgration h = 0.05. Comparer avec le calcul direct
de l’expression (H.12).
Que suggérez-vous pour obtenir des valeurs numériques plus confornws
a celles olkemles à
l’aide dc la relation (H.12)‘~
2. Étude d’une méthode de résolution spécifique - On considère une kluation un peu plus
gCm?ralc. soit :
dY
- = -Dy + dz
avec D » 1.
où s(t) représente une fonction continue A variations faibles (lentes) sur (0, w).
(H.13)
a - En multipliant les deux memhrcs de (H. 13) par exp( -D t) puis cn intbgrant entre tl et
tz. montrer que l’k~uation (H.13) 1 leut se mettre sous forme d’une kquation intégrale qui est
équivalerke :
v(h) = yy exp[-D(b - ti)l + .I
exp[D(t - tz)s(t)] dt
(H.14)
tl
b - L‘intégrale figurant dans (H.14), dtsignPe par 1. peut Rtre calcuke d’une manke approchée
par le procédé suivant : si s(t) est développable en série erkière. on obtient l’approxima.tion en
tronquant le d6vcloppcmcnt à l’ordre N ;
N
s(t) = c t”llk: ;
k=O
qu’il sera plus hathile d’écrire (l‘intér&t apparaîtra plus loin...) :
cn posant, 1 - 1 = t2 - tl.
Montrer que 1 peut être approchke par l’expression :
II&&
k,=O
Donner l‘expression de C,,. puis la relation de récurrençc cntrc deux valeurs conskutivcs Ck
et C~+I. (Intégration de Ck par parties.)
Choix des points de calcul - Il est commode de choisir les poirks eu progression arithmétique :
T~-k=t2-kp avec: k=O,l,...,N
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