ANNEXE H. PI~ORLÈMES ET EXERCICES
7.4. Intégration d’une équation différentielle du premier ordre par une méthode itérative
(prédiction-correction)
Soit a intégrer rmmériqucmcnt l’kfuation différeruicllc suivante :
dy/ dz = f(.X, y) p our 3; appartenant à (a: 15).
De plus, on désire que la solution prenne la valeur yo pour la valeur ~0 = n, de la variable.
a - Rappclcr dans quelles conditions il existe une solut,ion unique y(z) à l’équation diff~wntielle.
b - Par la suite, on supposera que les conditions énoncées au # a sont satjisfaitjcs. ct l’on
dksigncra par h le pa.s d’intégration de la variable .r et, par ynr la valeur dc la solution au
point, :c,,, = ( 1 + rnh.
Soit, D la droite tangente en (2,,(, ym) à la courbe y(z). On procède à urlc interpolation
paraholiqur de y(z) , ~
sur l’intervalle (z,,,-1. 2,,+r). la skcant,e passant par (2,,,- r, y,,,- 1); et
(:x.rr!+l>?/rn+l)
‘~ d P 11.1
est ont ara 6 c à la tangente en (.î7,,( ~ym): donner alors l’cxprcssion de ym+r
c - Cet)te relation appelée prédiction rnontrc que le calcul de yrl! cxig-e la connaissance des
valciirs des deux points précédents, ct l‘on ne peut pas calculer la valeur de y1 par cc procklé.
Dans ce cas, on utilisera la formule de Runbe et Kutta pour calculer yr. Donner l’expression
de O/I.
d - Hormis yr. nous allons améliorer la prkision de chaque Y,,+~ cn utilisant une formule
itérative appclkc correction. On désigne alors par y&+r la valeur calciilk au $ b et par yI,,+r la k’
valeur itérée. Pour calculer la valeur &+r >on considère qu’elle est, dCt,crminee
pa,r l’intersection
de la droit,c Q ct, dc la droite x = z,,+r ; la droite Q est construite de la manière suivamc : clic
passe par lc point (z,,, , y,,, ) et sa pent,c est la moyenne arithm6t~ique
de la pente de y(z) calculée
cn (cc,,,, y,,,) et de la. peme calculk en (z,,,+r, y&+r). D onner l’expression tir y$,+r
e - CJuel crit,ère pourra-t-on rctrmir pour limiter les it,eratioiis‘!
f - La mbthode proposée converge lorsque h < L/IV, on AT = sup~3f/& dans lc voisinage du
point, où l’on rfftctuc les calculs. Comment s’affranchir de cet,te contrainte?
g - Après avoir transformk l’bqrration différcnticllc sous une forme integrale sur les intervalles
définis pour la formule dc prédiction et pour la formule de wrrcction, donner les expressions de
l’erreur dc la prklkt,ion et de la correction. On pourra effcctwr un développcmcnt analogue à
celui qui a Pt,k rbalisi‘ lors de l’ét,ude des mbthodes des t,rap&zcs ct de Sirnpson.
7.5. Étude d’un phénomène transitoire obéissant à une équation différentielle du premier ordre
Si la constarne de temps est, faitk devants l’uriitb, alors bien avant, l’imité, la solution prkcntera
de faibles variations donnant l’illusion d’un phénomène rkgit par une grande constante de temps.
L’intkgration numérique peut alors poser qiiclques prohlèmes.
1. Position du probkme - Soit l’équation diff~rcnt~ielle suivante :
&Y
dn:
~ -507~ + 5 avec y(O) = 0,20.
(H.ll)
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7.4. Intégration d’une équation différentielle du premier ordre par une méthode itérative
(prédiction-correction)
Soit a intégrer rmmériqucmcnt l’kfuation différeruicllc suivante :
dy/ dz = f(.X, y) p our 3; appartenant à (a: 15).
De plus, on désire que la solution prenne la valeur yo pour la valeur ~0 = n, de la variable.
a - Rappclcr dans quelles conditions il existe une solut,ion unique y(z) à l’équation diff~wntielle.
b - Par la suite, on supposera que les conditions énoncées au # a sont satjisfaitjcs. ct l’on
dksigncra par h le pa.s d’intégration de la variable .r et, par ynr la valeur dc la solution au
point, :c,,, = ( 1 + rnh.
Soit, D la droite tangente en (2,,(, ym) à la courbe y(z). On procède à urlc interpolation
paraholiqur de y(z) , ~
sur l’intervalle (z,,,-1. 2,,+r). la skcant,e passant par (2,,,- r, y,,,- 1); et
(:x.rr!+l>?/rn+l)
‘~ d P 11.1
est ont ara 6 c à la tangente en (.î7,,( ~ym): donner alors l’cxprcssion de ym+r
c - Cet)te relation appelée prédiction rnontrc que le calcul de yrl! cxig-e la connaissance des
valciirs des deux points précédents, ct l‘on ne peut pas calculer la valeur de y1 par cc procklé.
Dans ce cas, on utilisera la formule de Runbe et Kutta pour calculer yr. Donner l’expression
de O/I.
d - Hormis yr. nous allons améliorer la prkision de chaque Y,,+~ cn utilisant une formule
itérative appclkc correction. On désigne alors par y&+r la valeur calciilk au $ b et par yI,,+r la k’
valeur itérée. Pour calculer la valeur &+r >on considère qu’elle est, dCt,crminee
pa,r l’intersection
de la droit,c Q ct, dc la droite x = z,,+r ; la droite Q est construite de la manière suivamc : clic
passe par lc point (z,,, , y,,, ) et sa pent,c est la moyenne arithm6t~ique
de la pente de y(z) calculée
cn (cc,,,, y,,,) et de la. peme calculk en (z,,,+r, y&+r). D onner l’expression tir y$,+r
e - CJuel crit,ère pourra-t-on rctrmir pour limiter les it,eratioiis‘!
f - La mbthode proposée converge lorsque h < L/IV, on AT = sup~3f/& dans lc voisinage du
point, où l’on rfftctuc les calculs. Comment s’affranchir de cet,te contrainte?
g - Après avoir transformk l’bqrration différcnticllc sous une forme integrale sur les intervalles
définis pour la formule dc prédiction et pour la formule de wrrcction, donner les expressions de
l’erreur dc la prklkt,ion et de la correction. On pourra effcctwr un développcmcnt analogue à
celui qui a Pt,k rbalisi‘ lors de l’ét,ude des mbthodes des t,rap&zcs ct de Sirnpson.
7.5. Étude d’un phénomène transitoire obéissant à une équation différentielle du premier ordre
Si la constarne de temps est, faitk devants l’uriitb, alors bien avant, l’imité, la solution prkcntera
de faibles variations donnant l’illusion d’un phénomène rkgit par une grande constante de temps.
L’intkgration numérique peut alors poser qiiclques prohlèmes.
1. Position du probkme - Soit l’équation diff~rcnt~ielle suivante :
&Y
dn:
~ -507~ + 5 avec y(O) = 0,20.
(H.ll)
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