M ANUEL
DE CALCUL NUM.GRIQUE
APPLIQIJE
7. Intégration des équations différentielles dans le champ réel
7.1. Étude d’un pendule de longueur variable
On considère im prndidc dont la longucwr I varie lin~aircmc~nt, avec lc temps wlon la loi :
l = b" + 7rt où ?! est llrl~ cor1sta.r1te.
a - Écrire l‘équation diff~rcnticllc % laqucllc ohbit l’angle Q que fait, lc pcntliilc avec la vcrticalc.
sachant que cc pcntlule est soumis à l’a.ct,ion de la pesanteur dont l‘int,ensit,é est g.
b - Écrire l’équation dans le cas où g est petit,. Rtkliscr 1111 programme qui cffcctw la t~abulat~ion
dc la solution de cette dernikr k~uation, sackant, que lc pendule qui nous pr~oc~upc~ est, la
bc~m~ d’une grue suspentlue au bout d’un c%l)lr de longurur I. = 10 m. Al1 kmps t = 0.
19 = 7r/200 radian, dB/ dt = 0 radian/s et, 0 = 1 rri/s.
C - La hrnnc s’arretc quaiid clic a parcouru 7 in vertidrment
(II = 3 m). Quelle 4 alors
l’amplitude des oscillat~ions‘? Pcubon considérer que H est, resté petit?
d - Mêmes questions qu’au $ c avec toutefois des conditions init,ialcs tliff6rcnt,cs : b. = 3 m.
II = 10 m, 71 = -1 m/s. H et, H’ gardid les mêmes valeurs.
7.2. Système électromécanique dépendant d’une équation de Mathieu
On considère 1111 circuit, électrique fermé constitlk d’une> self L. d’une rksistancc R ct ~‘LIIIP
capacité C: tous les t,rois mont& en série. L et R sont fixrs, en rr:vanch(~. la capacit,b C va.rie t‘11
fonction du temps selon la loi :
1
1 + E siritilt
c(t)
G
La réalisation de ce condensateur est, simple : il est constjitu6 dc deux plaques parallèles
séparées par mie distance e(t) qui varie au cours du temps ii la frkqucnce w1 /27r selon
l’cxprcssion : e(t) = ~(1 + E sinwlt) awc lx valeur absolue de & plus pet,ik qiw l’lmitb. Cc
mouvement des plaques est évitlemment,
crt6 par mi niot,cur qui peut, donc fournir de 1’6iwrgic
au circuit dectjriyue.
Écrire l‘équation difErcnt,icllc à laquelle obéit la charge kkctriquc: q(t). Int6grer nuriiériquement cette équation avec: lrs valeurs suivant,cs : L = 1 H. R = 1 il, CO = 1V4 F. E = 0:57 et,
WI = 225 s -1.
Au temps t = 0, qc1 = 1V4 C ct i = dq/ clt = 0 A.
7.3. L’équation de Van der Pol
Soit 1’Cquation diff6rentic~llc suivante :
011 dolIlle E = 1,O. Intégrer nurri~riclilerrient
cette bquation cn choisissant des conditions initiales
très difkentcs (cc sont des doiirltw qui sont c:oninmniqn~cs
cn corivrrsa.t,ioririel).
Rqr~sentcr les rkultats de l’intégration dans l’cspacc des phases. c’est,-à-clirc dans l’cspacc~
où y est port6 cn abscisse et &y/ dt t'ii ordonii~c. On cssaycra les valeurs 5 = 1,O et E = 10.0.
Qu’observez-vous? Quel intérêt, y a-t-il à fréyuent,r:r
de tcllcs équations?
462
DE CALCUL NUM.GRIQUE
APPLIQIJE
7. Intégration des équations différentielles dans le champ réel
7.1. Étude d’un pendule de longueur variable
On considère im prndidc dont la longucwr I varie lin~aircmc~nt, avec lc temps wlon la loi :
l = b" + 7rt où ?! est llrl~ cor1sta.r1te.
a - Écrire l‘équation diff~rcnticllc % laqucllc ohbit l’angle Q que fait, lc pcntliilc avec la vcrticalc.
sachant que cc pcntlule est soumis à l’a.ct,ion de la pesanteur dont l‘int,ensit,é est g.
b - Écrire l’équation dans le cas où g est petit,. Rtkliscr 1111 programme qui cffcctw la t~abulat~ion
dc la solution de cette dernikr k~uation, sackant, que lc pendule qui nous pr~oc~upc~ est, la
bc~m~ d’une grue suspentlue au bout d’un c%l)lr de longurur I. = 10 m. Al1 kmps t = 0.
19 = 7r/200 radian, dB/ dt = 0 radian/s et, 0 = 1 rri/s.
C - La hrnnc s’arretc quaiid clic a parcouru 7 in vertidrment
(II = 3 m). Quelle 4 alors
l’amplitude des oscillat~ions‘? Pcubon considérer que H est, resté petit?
d - Mêmes questions qu’au $ c avec toutefois des conditions init,ialcs tliff6rcnt,cs : b. = 3 m.
II = 10 m, 71 = -1 m/s. H et, H’ gardid les mêmes valeurs.
7.2. Système électromécanique dépendant d’une équation de Mathieu
On considère 1111 circuit, électrique fermé constitlk d’une> self L. d’une rksistancc R ct ~‘LIIIP
capacité C: tous les t,rois mont& en série. L et R sont fixrs, en rr:vanch(~. la capacit,b C va.rie t‘11
fonction du temps selon la loi :
1
1 + E siritilt
c(t)
G
La réalisation de ce condensateur est, simple : il est constjitu6 dc deux plaques parallèles
séparées par mie distance e(t) qui varie au cours du temps ii la frkqucnce w1 /27r selon
l’cxprcssion : e(t) = ~(1 + E sinwlt) awc lx valeur absolue de & plus pet,ik qiw l’lmitb. Cc
mouvement des plaques est évitlemment,
crt6 par mi niot,cur qui peut, donc fournir de 1’6iwrgic
au circuit dectjriyue.
Écrire l‘équation difErcnt,icllc à laquelle obéit la charge kkctriquc: q(t). Int6grer nuriiériquement cette équation avec: lrs valeurs suivant,cs : L = 1 H. R = 1 il, CO = 1V4 F. E = 0:57 et,
WI = 225 s -1.
Au temps t = 0, qc1 = 1V4 C ct i = dq/ clt = 0 A.
7.3. L’équation de Van der Pol
Soit 1’Cquation diff6rentic~llc suivante :
011 dolIlle E = 1,O. Intégrer nurri~riclilerrient
cette bquation cn choisissant des conditions initiales
très difkentcs (cc sont des doiirltw qui sont c:oninmniqn~cs
cn corivrrsa.t,ioririel).
Rqr~sentcr les rkultats de l’intégration dans l’cspacc des phases. c’est,-à-clirc dans l’cspacc~
où y est port6 cn abscisse et &y/ dt t'ii ordonii~c. On cssaycra les valeurs 5 = 1,O et E = 10.0.
Qu’observez-vous? Quel intérêt, y a-t-il à fréyuent,r:r
de tcllcs équations?
462