A NNEXE
H. P~013LèhfE.5
E T EXERCIC E S
5.9. Calcul des valeurs propres d’une matrice par la méthode de Souriau (1948)
Soit A UIC matrice car& d’ordrr TL dont on se propose dc calculer les valeurs propres Xj:
lcsqucllcs sont. les racines du polynôme caractCristiquc :
P,,(z) = a”d7 + UlZ n-1 + a2x” -2 +...+a,, =O avec a() = 1.
Nous 11011s proposons de calculer directement les cocfficicnts ak: puis de calculer les racines du
polynôme. Pour ce faire; considérons une suite de matrices B, dkfinic de la fac;on suivantJe :
B 4 = Aq + alAqpl + QA”-~ + . + o 1
“1 :
OU 1 est la matrice unitk d’ordre n.
a - Donner la relation de récurrence qui existe entre dellx rnatriccs conskutivcs l?k et n,+,.
Quelle valeur convient-il de donner à Bu?
b - Dkmontrer 1~ relations de Newton exprimant les coefficients (~k cn fonction des sommes
des racines élevées à la même puissance m. On notera :
En utilisant l’expression de a, /; donnkc par la relation de Newton, montrer que
ct déduire ur1e procédure générale de calcul des valeurs propres d’une matrice
6. L’interpolation
6.1. Le polynôme de Lagrange
On dispose d’un fichier dc donnees constitué d‘une suite dc N couples d’abscisses et d’ordonnées. On dksirc réaliser un programme qui pcrmcttc d’effectuer une interpolation voire une
extrapolation par le polynôme dc Lagrange.
a - Prograrnmcr dircctcment la méthode de Lagrange.
b - Calculer les cocfficicnts du polynôme de Lagrange par inversion de la rnatricc fournie par
l’kriture du systkic linéaire.
c - Comparer les performances des deux a.pproches
du mkne probkme.
6.2. Les fonctions «spline »
Rkaliser un programme
qui effectue les interpolations (des rnêmcs données) au rnoycn dc
fonctions «spline » de degré trois. La mise au point termink, le transforrncr cn sous-programme.
Applications des J 6.1 et 6.2 - Déduire des ktudcs précédentes 1111 ou plusieurs prograrnmcs
qui realiscnt la différentiation et l’intégration.
Quelles sont les difficultk li@es à ces rnéthodcs?
La différentiation est-elle une opération sfirc?
Laqucllc des deux techniques d’interpolation donne les meilleurs rbsultat,s?
Pourquoi?
461
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E T EXERCIC E S
5.9. Calcul des valeurs propres d’une matrice par la méthode de Souriau (1948)
Soit A UIC matrice car& d’ordrr TL dont on se propose dc calculer les valeurs propres Xj:
lcsqucllcs sont. les racines du polynôme caractCristiquc :
P,,(z) = a”d7 + UlZ n-1 + a2x” -2 +...+a,, =O avec a() = 1.
Nous 11011s proposons de calculer directement les cocfficicnts ak: puis de calculer les racines du
polynôme. Pour ce faire; considérons une suite de matrices B, dkfinic de la fac;on suivantJe :
B 4 = Aq + alAqpl + QA”-~ + . + o 1
“1 :
OU 1 est la matrice unitk d’ordre n.
a - Donner la relation de récurrence qui existe entre dellx rnatriccs conskutivcs l?k et n,+,.
Quelle valeur convient-il de donner à Bu?
b - Dkmontrer 1~ relations de Newton exprimant les coefficients (~k cn fonction des sommes
des racines élevées à la même puissance m. On notera :
En utilisant l’expression de a, /; donnkc par la relation de Newton, montrer que
ct déduire ur1e procédure générale de calcul des valeurs propres d’une matrice
6. L’interpolation
6.1. Le polynôme de Lagrange
On dispose d’un fichier dc donnees constitué d‘une suite dc N couples d’abscisses et d’ordonnées. On dksirc réaliser un programme qui pcrmcttc d’effectuer une interpolation voire une
extrapolation par le polynôme dc Lagrange.
a - Prograrnmcr dircctcment la méthode de Lagrange.
b - Calculer les cocfficicnts du polynôme de Lagrange par inversion de la rnatricc fournie par
l’kriture du systkic linéaire.
c - Comparer les performances des deux a.pproches
du mkne probkme.
6.2. Les fonctions «spline »
Rkaliser un programme
qui effectue les interpolations (des rnêmcs données) au rnoycn dc
fonctions «spline » de degré trois. La mise au point termink, le transforrncr cn sous-programme.
Applications des J 6.1 et 6.2 - Déduire des ktudcs précédentes 1111 ou plusieurs prograrnmcs
qui realiscnt la différentiation et l’intégration.
Quelles sont les difficultk li@es à ces rnéthodcs?
La différentiation est-elle une opération sfirc?
Laqucllc des deux techniques d’interpolation donne les meilleurs rbsultat,s?
Pourquoi?
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