MANIJEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUE
b - Dans toute la suite du problème ou considère que A est une matrice symétrique CL~, ? = o,,~,..
À quelle propriktk import.antc obéissent les valeurs propres de A‘!
c - A présent, on cherche à diagonaliser la matrice A au moyen d‘un<: succession de transformations TplAT.
Choix de /a matrice T - T est ~IIC matrice unit6 d’ordre 71, à l’exception de quatre 61Cmcnt~s
se situant à l’intcrscction des lignes p et q d’une part et des colonnes p et q d’autre part :
t pp = “OS(P)
tïlcl = sin(cp)
t,, = sin(cp)
t<,(, = ~ COS( y).
Montrer que TP1 = T
d - Écrire les 6léments de la matrice (AT). Puis montrer comment ces ékmcnts sont modifiés
lorsque l’on multiplie (AT) par T-l. É crirc les éléments blk de B = Tpl(AT) ct cn particulier
b,,. b,,. b,, et b,,.
e - En dkduire que B = TplAT est urlc matrice symétrique. (Attention. lc produit de deux
rriatrices symktriques n’est pas, en général; uiic matrice symt;trique.)
f - 9 est, un paramètre que l’on choisit, de telle sorte qu’on annule lc coefficient b,, et par
conskquent b,, . donner alors l’expression dc tan(2p) en fonction des nik. On pose tan(2p) = 7.
Donner l’intervalle de variation de cp. Donner les expressions de COS(~~) ct dc sin(cp) en fonction
de 7 cn prenant garde aux évrntucls problèmes de signe, au prkalable, il peut être utile dc
calculer sin(2p) ou COS(~~), et 1’ on dksigncra par E le signe de 7.
g - Définir ~II algorit,hme
qui arnène progrcssivcmcnt des zéros partout, hormis sur la diagonale
principale dans la suite dc matrices L3, que l’on prkciscra. Dans le cas on 7 dcvicnt infini le
proc6di: ne tornbe pas pour autant en défaut. Donner alors les valeurs numériques de ~OS(Y) et
de sin(p) qui pcrmctt,ent de poursuivre la transformation.
Convergence de la méthode - Montrer que pour une matrice symkt,riquc
telle que A: la somme
des carrés des valeurs propres de A no& S2 est égale à la somme des carres de tous les Gments
de A. En déduire que cette valeur est invariante si la matrice subit lmc skric dc transformations
gknérales du type dc ccllcs définies ci-dessus TplAT.
h - Calculer b,, + b,, ct b,, - b,, en fonction des 01k ct dc cp. Dr ces deux équations auxquelles
011 ,joint l’expression de bI,‘[. dkmontrer
que :
i - En dkluirc que la mtthode étudikc est inconditiormellement convergente.
Quelques expressions utiles.. .
Cos’(y) ~ sin’(cp) = COS(~~),
2 sin(y) cos(‘p) = sin(2cp).
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DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUE
b - Dans toute la suite du problème ou considère que A est une matrice symétrique CL~, ? = o,,~,..
À quelle propriktk import.antc obéissent les valeurs propres de A‘!
c - A présent, on cherche à diagonaliser la matrice A au moyen d‘un<: succession de transformations TplAT.
Choix de /a matrice T - T est ~IIC matrice unit6 d’ordre 71, à l’exception de quatre 61Cmcnt~s
se situant à l’intcrscction des lignes p et q d’une part et des colonnes p et q d’autre part :
t pp = “OS(P)
tïlcl = sin(cp)
t,, = sin(cp)
t<,(, = ~ COS( y).
Montrer que TP1 = T
d - Écrire les 6léments de la matrice (AT). Puis montrer comment ces ékmcnts sont modifiés
lorsque l’on multiplie (AT) par T-l. É crirc les éléments blk de B = Tpl(AT) ct cn particulier
b,,. b,,. b,, et b,,.
e - En dkduire que B = TplAT est urlc matrice symétrique. (Attention. lc produit de deux
rriatrices symktriques n’est pas, en général; uiic matrice symt;trique.)
f - 9 est, un paramètre que l’on choisit, de telle sorte qu’on annule lc coefficient b,, et par
conskquent b,, . donner alors l’expression dc tan(2p) en fonction des nik. On pose tan(2p) = 7.
Donner l’intervalle de variation de cp. Donner les expressions de COS(~~) ct dc sin(cp) en fonction
de 7 cn prenant garde aux évrntucls problèmes de signe, au prkalable, il peut être utile dc
calculer sin(2p) ou COS(~~), et 1’ on dksigncra par E le signe de 7.
g - Définir ~II algorit,hme
qui arnène progrcssivcmcnt des zéros partout, hormis sur la diagonale
principale dans la suite dc matrices L3, que l’on prkciscra. Dans le cas on 7 dcvicnt infini le
proc6di: ne tornbe pas pour autant en défaut. Donner alors les valeurs numériques de ~OS(Y) et
de sin(p) qui pcrmctt,ent de poursuivre la transformation.
Convergence de la méthode - Montrer que pour une matrice symkt,riquc
telle que A: la somme
des carrés des valeurs propres de A no& S2 est égale à la somme des carres de tous les Gments
de A. En déduire que cette valeur est invariante si la matrice subit lmc skric dc transformations
gknérales du type dc ccllcs définies ci-dessus TplAT.
h - Calculer b,, + b,, ct b,, - b,, en fonction des 01k ct dc cp. Dr ces deux équations auxquelles
011 ,joint l’expression de bI,‘[. dkmontrer
que :
i - En dkluirc que la mtthode étudikc est inconditiormellement convergente.
Quelques expressions utiles.. .
Cos’(y) ~ sin’(cp) = COS(~~),
2 sin(y) cos(‘p) = sin(2cp).
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