5.7. Calcul direct des coefficients du polynôme caractéristique
Soit A mie mat,rice carrée d’ordre TL dont, les 6lémrnts sont r&ds. On se propose de calculer
dircctcmeid les coeflkient,s 0k de son polynôme cl-Lrac:t,~ristiquc
que l’on pc’ut krirc sous les
formes suivantes :
(H.9)
P,!(X) = -&Y,X”?
(H.10)
J=O
où 1,) est la mat,ricc unité d’ordre 11, les crochets signifianl. qu‘il s’agit, d’un tk%cwr~inant~
a - Ident,ificr l’expression donnée par (H.10) awc: le tl&eloppc~ment
cn shrie tic MiL(~Lilllrin dc
P,,(X) afin d’expliciter les wefficicrds c1~, Donner alors l’cxprcssion tl(, ok en fonction (le p,, (0)
et, tics dérivées en zkro qui sont not6es P(“)(O): q = 1, 2: T 11.
Pour ohknir les dérivks successives dc P,, (A). on se propose dt> &rivcr l’wprcssion (H.9) par
rapport 2 X7 puis on fa,it X = 0 pour olkenir les PA”‘(O).
Comme A ne dépend pas de A. la r?glr de tlkrivation du c16tjc~rminant donnant~ P:! (A) dans le
cas particulier qui nous intéresse (1st doiin~c par les expressions suivantes :
OU 1,, ~ 1 est la matrice unit,& d’ordrc~ (n ~ 1) ct OC A,,,, dCsignc la rriatriw d’ortlrc~ (n ~ 1) obtenue
en supprimant~ la jr ligne et, la jr colonne tic la matrice A.
Donner l’expression de P’ (0).
6 - En utilisant, la règle dc d6rivatiou prkklemmcnt~ fournie, donner l‘cxprcssiori & F’(X).
puis en &tluire 1 ‘expression de 1’;; (0) cn fordion des rua.t,ricw Aj ,,hb (lui &signcnt 1~ matrices
d’ortlrc: ( ~ 1 ~ 2) obtenues en supprimant~ clans la matrice A les lignc,s ,j c‘t, k cl’lmr~ part, ct les
colonnes j ct k d’aut,rc part, (on prfkiscra soigncuscwrut~
les indiws).
c - Montrer qllc l’expression de pi”’ (0) est donllk par :
Pr!“‘(O)
= (kl)“m”
C [Aj~.k~,....qq]
= ~l!(-l)~“’
C [A~,~.~~.....qq]
,/.k ,_... q
.jik.....
e - Dire comment exploit,cr cet algorit~hme pour obtenir les valeurs propres tk la matrice A.
5.8. Calcul des valeurs propres d’une matrice réelle et symétrique par la méthode de Jacobi
a - Soit A urlc matrice car& d’ordre n ;i Ikmcds {a~~~} rkls. On consitl+rc mie autre mat rice
T d’ordre ~ 7 à bli:ments ri:& {tlk} qui possède urle matjric:c~ inverw T -’ Les valtwrs proprw {A,}
rt, les vcdcurs propres
{X,} sont d ormks par l’+quat,ion : AX = XX. Monllw (111~ I? = ‘r ‘AT
admet les mCmes valeurs propres que A. Pour cela. on posera. X = TZ. cxprwGon
Soit A mie mat,rice carrée d’ordre TL dont, les 6lémrnts sont r&ds. On se propose de calculer
dircctcmeid les coeflkient,s 0k de son polynôme cl-Lrac:t,~ristiquc
que l’on pc’ut krirc sous les
formes suivantes :
(H.9)
P,!(X) = -&Y,X”?
(H.10)
J=O
où 1,) est la mat,ricc unité d’ordre 11, les crochets signifianl. qu‘il s’agit, d’un tk%cwr~inant~
a - Ident,ificr l’expression donnée par (H.10) awc: le tl&eloppc~ment
cn shrie tic MiL(~Lilllrin dc
P,,(X) afin d’expliciter les wefficicrds c1~, Donner alors l’cxprcssion tl(, ok en fonction (le p,, (0)
et, tics dérivées en zkro qui sont not6es P(“)(O): q = 1, 2: T 11.
Pour ohknir les dérivks successives dc P,, (A). on se propose dt> &rivcr l’wprcssion (H.9) par
rapport 2 X7 puis on fa,it X = 0 pour olkenir les PA”‘(O).
Comme A ne dépend pas de A. la r?glr de tlkrivation du c16tjc~rminant donnant~ P:! (A) dans le
cas particulier qui nous intéresse (1st doiin~c par les expressions suivantes :
OU 1,, ~ 1 est la matrice unit,& d’ordrc~ (n ~ 1) ct OC A,,,, dCsignc la rriatriw d’ortlrc~ (n ~ 1) obtenue
en supprimant~ la jr ligne et, la jr colonne tic la matrice A.
Donner l’expression de P’ (0).
6 - En utilisant, la règle dc d6rivatiou prkklemmcnt~ fournie, donner l‘cxprcssiori & F’(X).
puis en &tluire 1 ‘expression de 1’;; (0) cn fordion des rua.t,ricw Aj ,,hb (lui &signcnt 1~ matrices
d’ortlrc: ( ~ 1 ~ 2) obtenues en supprimant~ clans la matrice A les lignc,s ,j c‘t, k cl’lmr~ part, ct les
colonnes j ct k d’aut,rc part, (on prfkiscra soigncuscwrut~
les indiws).
c - Montrer qllc l’expression de pi”’ (0) est donllk par :
Pr!“‘(O)
= (kl)“m”
C [Aj~.k~,....qq]
= ~l!(-l)~“’
C [A~,~.~~.....qq]
,/.k ,_... q
.jik.....
e - Dire comment exploit,cr cet algorit~hme pour obtenir les valeurs propres tk la matrice A.
5.8. Calcul des valeurs propres d’une matrice réelle et symétrique par la méthode de Jacobi
a - Soit A urlc matrice car& d’ordre n ;i Ikmcds {a~~~} rkls. On consitl+rc mie autre mat rice
T d’ordre ~ 7 à bli:ments ri:& {tlk} qui possède urle matjric:c~ inverw T -’ Les valtwrs proprw {A,}
rt, les vcdcurs propres
{X,} sont d ormks par l’+quat,ion : AX = XX. Monllw (111~ I? = ‘r ‘AT
admet les mCmes valeurs propres que A. Pour cela. on posera. X = TZ. cxprwGon