1hfhVUEL
DE (‘ALCL’L
NUMÉRlQlJE APPLIQUÉ
N.B. - À chaque étape du processus it,bratif~ r’? dorme l’écart à la solution exactJe et s’appelle
vecteur rkklu 0~1 résidu.
a - Montrer que la suite des {r.;} est, orthogonale en utilisant. la wlation (H.8). On pourra
poser :
b - Montrer que la suite des {pl} est A-ort~hogonalc
CII utilisant la relation (H.7).
c - Quel est le nombre maximunl de tours d’it6ratjion qui permettra d‘olh:nir la sohhion exacte.
ahstra.ct~ion faite des crrcurs dues a.ux troncatiircs des calculs effectifs?
5. - Cet,te rrkthodc dc rkolution d’un syst,hc linkairc, déperldark d’une matjricc A définie
positive et symktriqut, s’appelle métllodt~ du gradient co~~jugué.
Les formules
montrent, que l’approximation X, 7 s’ohticnt à partir de l’a.l->l>roximation prkéderlte en ajout,ant,
une quantitk algkbriquc paralkle au vwtcur p,,. Nous a~llorls voir que, pr+cisémrrlt, la quantit6
c,p,f est celle qui minimise le carre du rkidu dans la direction p,, On note E”(r) le carri‘ du
rkidu.
a - Montrer que? E2(:x) est donné par l’cxxprcssion :
E”(z) = [A(h - XT)> h ~ x].
Il s’agit de minimiser E’(x) da,ns la dircct,iou p sur la droite 2; = n;,, + I,,JJ,, et, de dét,ermincr
1, c:orrcsponda.rlt
à ce minimum.
b - Montrer CIU~ E’(zj + l,,p,,) = E”(r)) + lj(Ap,j:~),,) - 2b,7(r,7,p.I) ex )rr ssion dans laquelle on
71 :Y‘
a pos6 : ri = B ~ A.c,, (= B ~ xj).
~ (~.l~P./)
Dkduirc que Z, , ~ (APj: ~,1)
déduire que bj = C,j.
6. - Soit A une matrice yuelconquc. Quelles transforma.tions doit-on appliquer au système
lincaire pour pouvoir utiliser l’algorithmr i:tudib?
DE (‘ALCL’L
NUMÉRlQlJE APPLIQUÉ
N.B. - À chaque étape du processus it,bratif~ r’? dorme l’écart à la solution exactJe et s’appelle
vecteur rkklu 0~1 résidu.
a - Montrer que la suite des {r.;} est, orthogonale en utilisant. la wlation (H.8). On pourra
poser :
b - Montrer que la suite des {pl} est A-ort~hogonalc
CII utilisant la relation (H.7).
c - Quel est le nombre maximunl de tours d’it6ratjion qui permettra d‘olh:nir la sohhion exacte.
ahstra.ct~ion faite des crrcurs dues a.ux troncatiircs des calculs effectifs?
5. - Cet,te rrkthodc dc rkolution d’un syst,hc linkairc, déperldark d’une matjricc A définie
positive et symktriqut, s’appelle métllodt~ du gradient co~~jugué.
Les formules
montrent, que l’approximation X, 7 s’ohticnt à partir de l’a.l->l>roximation prkéderlte en ajout,ant,
une quantitk algkbriquc paralkle au vwtcur p,,. Nous a~llorls voir que, pr+cisémrrlt, la quantit6
c,p,f est celle qui minimise le carre du rkidu dans la direction p,, On note E”(r) le carri‘ du
rkidu.
a - Montrer que? E2(:x) est donné par l’cxxprcssion :
E”(z) = [A(h - XT)> h ~ x].
Il s’agit de minimiser E’(x) da,ns la dircct,iou p sur la droite 2; = n;,, + I,,JJ,, et, de dét,ermincr
1, c:orrcsponda.rlt
à ce minimum.
b - Montrer CIU~ E’(zj + l,,p,,) = E”(r)) + lj(Ap,j:~),,) - 2b,7(r,7,p.I) ex )rr ssion dans laquelle on
71 :Y‘
a pos6 : ri = B ~ A.c,, (= B ~ xj).
~ (~.l~P./)
Dkduirc que Z, , ~ (APj: ~,1)
déduire que bj = C,j.
6. - Soit A une matrice yuelconquc. Quelles transforma.tions doit-on appliquer au système
lincaire pour pouvoir utiliser l’algorithmr i:tudib?