A NNEXE H. P ROBLÈ MES ET EXERCICES
3. - On se propose maintenant de construire Mac base {pk} de vecteurs A-orthogonaux à part,ir
d’une base {Q} de N vecteurs lineairement independants (orthogonalisation de Gran-Schmidt)
pour k = 0, 1,2, . , N ~ 1.
a - On pose p0 = 210, puis pr = vr + aropr
Montrer que
(Av:Po)
a1o = ~ (APO,PO)
puis que le vecteur pk+r s’exprime en fonction des k préctdrnts Vect>eurs p de la façon suivante :
I&+l = vc+1 + ~k+l,oPo + Qk+l,lpl + . ‘. + ctk,lJ$k = tJk+l + 5 r~e+l.,P,
jr0
avec k < N ~ 2. (H.7)
Donner l’expression des ~k+r . , , en fonction des produits scakres de vcctcurs (connus au fur
et a rnesure). Montrer que
( 7~1<: , Apj) = 0 pour , J’ > k.
b - Si A est, la matrice unité (A = 1): la suite des vecteurs A-ort,hogonaux devient u~e suite de
vcctcurs orthogonaux. Dans ce cas particulier, montrer que la suite des {pk.} dont la définition
(légèrcmcnt modifiée par rapport à (H.7)) est la suivantje :
k.-l
PL.+, = PL + c?k+l,jpi + Yk+l.kVk+l
.7=0
est, mie suite orthogonale que l’on peut écrire sous la forme :
PL,, = P’, +
(P:.,Pk)
{
k-1 (w+l,P;)
,
(%+1,?4
,lT”
(P;>I$
?j
- T/k+*
c
i
(H.8)
4. - On SP propose d’utiliser les rcsultats précédents pour résoudre le systeme AX = B. Pour
cela, il nous suffit de connaître une base quelconque de l’espace de dimension N, à partir de
celle-ci IIOUS obtiendrons une base {pk} A-orthogonale qui nous pcrrnettra de calculer lc vecteur
solution h.
Cette base {pk} A-orthogonale sera détermincc à partir d’une base {r.k} orthogonale. On
propose de calculer simultanément ~ ou en parallele ~~ les deux bases en procklant dc la
manière suivante :
Soit ~0 une approximation arbitraire du vecteur h. On pose :
Po = yo = B - Azo
T,;+1 = 5, - a,Api
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