MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
d - Montrer que la matrice L peut Ctre rendue triangulaire avec des 1 sur la diagonale en la
multipliant à droite par une matrice diagonale DP1 convenablement, choisie. On kcrira L = AD.
Donner l’expression des Cléments dc XI~ la matrice A en fonction des klémentjs 1,, de L. Montrer
que A = LS = (hD)S peut aussi s’i‘crire (seulement dans ce cas prkcis) A = h(DS).
2. - À partir de maintenant on suppose que la matrice A est symétrique : A = A” (AT est la
matrice transposée de A).
a - Donner l’expression de A’ en fonction de D, S?’ et AT7 en dkduirc deux relations entre A.
S, ST et AT.
b - Déduire que A = ADA’ (ou encore que A = STDS). C omrne D est une matrice diagonale.
on peut écrire : A = Afi\IDAT = ïWMT. D onner les éléments 61, de V% en fonction des
ékments d,, de D.
c - Écrire directement les relations donnant les éléments rrllk de la matrice triangulaire
inférieure M en fonction des élémcnt,s CLQ de A.
d - Indiquer une méthode de résolution des systknes linéaires dépendant d’lmc matrice
symétrique non singulière.
5.6. Résolution d’un système linéaire par la méthode du gradient conjugué
On se propost de résoudre un système linéaire de N équations à N inconnues :
AX=B
où A est urle matrice définie positive et symétrique d’ordre N d’élément ulk, X le vecteur
inconnu, B le vecteur second membre d’éléments {bl}.
1. - Soient p et C J deux vecteurs de dirrrension N. On note par (p, q) lc produit scalaire de p et
4 : (P> 4) = pï’q, P T étant lc vecteur transposé de p en kriture matricielle.
Montrer que (p, Aq) = (Ap, y) = (q, Ap) = (Aq,p).
2. - Par définition, on dit qu’une suite dc vecteurs {pi} est A-orthogonale (i = 0,1, . , N - 1)
quand les produits scalaires (AP,, pJ) sont nuls pour i # j.
a - Montrer que (Api,pi) > 0.
b - Montrer que les {P,~} forment une base de l’espace à N dirnensions.
c - On désigne par h le vecteur qui est solution du systèrne AX = B; montrer que h peut
s’écrire sous la forme :
N-l
hj = C c,~P,~ ,
(B>P.~)
.j=O
avec C,j = cApj, p,~ )
Montrer qut h peut s’obtenir par le sclkma itératif suivant :
(H.6)
20 = topo
(B> Pi)
“’ = (AP,j,P3)
x.7+1 = xj + (++1P,+1
XAJ = h, avec M 5 N.
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DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
d - Montrer que la matrice L peut Ctre rendue triangulaire avec des 1 sur la diagonale en la
multipliant à droite par une matrice diagonale DP1 convenablement, choisie. On kcrira L = AD.
Donner l’expression des Cléments dc XI~ la matrice A en fonction des klémentjs 1,, de L. Montrer
que A = LS = (hD)S peut aussi s’i‘crire (seulement dans ce cas prkcis) A = h(DS).
2. - À partir de maintenant on suppose que la matrice A est symétrique : A = A” (AT est la
matrice transposée de A).
a - Donner l’expression de A’ en fonction de D, S?’ et AT7 en dkduirc deux relations entre A.
S, ST et AT.
b - Déduire que A = ADA’ (ou encore que A = STDS). C omrne D est une matrice diagonale.
on peut écrire : A = Afi\IDAT = ïWMT. D onner les éléments 61, de V% en fonction des
ékments d,, de D.
c - Écrire directement les relations donnant les éléments rrllk de la matrice triangulaire
inférieure M en fonction des élémcnt,s CLQ de A.
d - Indiquer une méthode de résolution des systknes linéaires dépendant d’lmc matrice
symétrique non singulière.
5.6. Résolution d’un système linéaire par la méthode du gradient conjugué
On se propost de résoudre un système linéaire de N équations à N inconnues :
AX=B
où A est urle matrice définie positive et symétrique d’ordre N d’élément ulk, X le vecteur
inconnu, B le vecteur second membre d’éléments {bl}.
1. - Soient p et C J deux vecteurs de dirrrension N. On note par (p, q) lc produit scalaire de p et
4 : (P> 4) = pï’q, P T étant lc vecteur transposé de p en kriture matricielle.
Montrer que (p, Aq) = (Ap, y) = (q, Ap) = (Aq,p).
2. - Par définition, on dit qu’une suite dc vecteurs {pi} est A-orthogonale (i = 0,1, . , N - 1)
quand les produits scalaires (AP,, pJ) sont nuls pour i # j.
a - Montrer que (Api,pi) > 0.
b - Montrer que les {P,~} forment une base de l’espace à N dirnensions.
c - On désigne par h le vecteur qui est solution du systèrne AX = B; montrer que h peut
s’écrire sous la forme :
N-l
hj = C c,~P,~ ,
(B>P.~)
.j=O
avec C,j = cApj, p,~ )
Montrer qut h peut s’obtenir par le sclkma itératif suivant :
(H.6)
20 = topo
(B> Pi)
“’ = (AP,j,P3)
x.7+1 = xj + (++1P,+1
XAJ = h, avec M 5 N.
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